Persamaan Kuadrat, Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarnya dan Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat secara umum ditulis ax² + bx + c = 0. Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 tersebut, maka nilai dari x₁ + x₂ = -b/a dan x₁ . x₂ = c/a.

Berikut ini akan kami sampaikan tentang penyelesaian akar-akar persamaan kuadrat yang menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar.

Contoh 1

Jika a dan b merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² – 6x + 3 = 0, Tentukan nilai dari ab²+ a²b.

Jawaban:

Diketahui persamaan kuadrat 2x² – 6x + 3 = 0 mempunyai akar-akar a dan b.

a + b = -(-6/2) = 3

ab = 3/2

ab² + a²b   = ab(b + a)

                 = ab(a + b)

                 = 3/2 · 3

                 = 9/2

                 = 4 1/2

Contoh 2

Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x – 18 = 0. Tentukan nilai x12 + x22.

Jawaban:

x1 dan x2 akar-akar dari x2 – 3x – 18 = 0, sehingga:

x1 + x2 = –(-3/1) = 3

x1 · x2 = -18/1 = –18

x12 + x22   = (x1 + x2)2 – 2x1x2

                    = 32 – 2 × (–18)

                    = 9 + 36 = 45

Jadi, nilai x12 + x22 = 45.

Contoh 3

Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 adalah a dan b. Berapakah nilai dari 1/a + 1/b?

Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat x² – 5x + 3 = 0 adalah a dan b.

a + b = -(-5/1) = 5

ab = 3/1= 3

1/a + 1/b = (a + b)/ab = 5/3

Jadi, nilai 1/a + 1/b = 5/3.

Bagaimana, sudah jelas dengan langkah-langkah penyelesaian di atas? 

Mari kita lanjutkan dengan cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akar baru persamaan mempunyai hubungan dengan akar-akar yang lama.

Contoh 4

Akar-akar persamaan kuadrat x² – 6x – 2 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p  dan 2q adalah….

Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat x² – 6x – 2 = 0 adalah p dan q.

p + q = -(b/a) = -(-6/1) = 6

pq = c/a = -2/1 = -2

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2p dan 2q.

2p + 2q = 2 (p + q) = 2 x 6 = 12

(2p) x (2q) = 4pq = 4 x (-2) = -8

Diperoleh persamaan kuadrat baru:

x² – (2p + 2q)x + (2p)(2q) = 0

x² – 12x – 8 = 0

Contoh 5

Tentukan persamaan kuadrat  baru yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x² – 5x + 4 = 0.

Jawaban:

x²– 5x + 4 = 0 → a = 1, b = -5, c = 4

Misalkan akar-akar persamaan x² – 5x + 4 = 0, yaitu x₁ dan x₂.

x₁+ x₂ = -(-5/1) = 5

x₁x₂= 4/1 = 4

Jika akar-akar persamaan baru, yaitu p dan q maka p = x₁ + 3 dan q = x₂+ 3.

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)

         = x₁ + x₂ + 6

         = 5 + 6

         = 11

p∙q = (x₁ + 3)(x₂+ 3)

      = x₁x₂ + 3x₁+ 3x₂ + 9

      = x₁x₂ + 3(x₁+ x₂) + 9

      = 4 + 3 ∙ 5 + 9

      = 4 + 15 + 9

      = 28

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q)x + pq = 0.

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 11x + 28 = 0

Contoh 6

Persamaan kuadrat x² – 2x + 5 = 0 memiliki akar-akar x₁ dan x₂. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (x₁– 2) dan (x₂ – 2) adalah.

Jawaban:

x²– 2x + 5 = 0, diperoleh a = 1, b = -2, c = 5

x₁+ x₂ = -b/a = -(-2)/1= 2

x₁x₂= c/a = 5/1 = 5

Jika akar-akar persamaan baru, yaitu p dan q maka p = x₁ – 2 dan q = x₂– 2.

p + q = (x₁ – 2) + (x₂ – 2)

         = (x₁+ x₂ ) – 4

         = 2 – 4

         = -2

p∙q = (x₁ – 2)(x₂ – 2)

      = x₁x₂ – 2x₁– 2x₂ + 4

      = x₁x₂ – 2(x₁+ x₂) + 4

      = 5 – 2 ∙ 2 + 4

      = 5 – 4 + 4

      = 5

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q)x + pq = 0.

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² + 2x + 5 = 0.

Contoh 7

Diketahui x₁ dan x₂akar-akar persamaan 2x² + 8x + 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3x₁ - 2) dan (3x₂ - 2).

  Jawaban:

  2x² + 8x - 5 = 0

  x₁ + x₂= -b/a =-8/2 = -4

  x₁ . x₂= c/a=   5/2

  Misalkan m = 3x₁ – 2 dan n = 3x₂- 2, maka:

  m + n      = (3x₁ – 2) + (3x₂ - 2)

                 = 3(x₁ + x₂) + 4

                 = 3(-4) + 2

                 = -10

  m x n      = (3x₁ – 2) ´ (3x₂ - 2)

                 = (3x₁) ´ (3x₂) – 3x₁+ 3x₂ + 4

                 = 9(x₁ ´ x₂) + 3(x₁+ x₂) + 4

                 = 9(5/2) + 3(-4) + 4

                 = 45/2 -12 + 4

                 = 14 1/2

  Persamaan kuadrat yang akar-akarnya m = 3x₁– 2 dan n = 3x₂– 2:

  x² - (m + n)x + (m x n) = 0

     x² - (-10)x + 14 1/2 = 0

             2x² + 20x + 29 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3x₁ - 2) dan (3x₂ - 2) adalah 2x² + 20x + 29 = 0.

Demikianlah sedikit materi tentang akar-akar persamaan kuadrat dan penyelesaian masalah menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Semoga bermanfaat.

Penjelasan Pengertian Datum, Data dan Statistika dalam Matematika

Pengertian Datum, Data dan Statistika - Istilah datum dalam matematika dapat diartikan sebagai suatu catatan yang berisi keterangan atau informasi yang didapatkan setelah melakukan sebuah penelitian. Di dalam matematika bentuk datum dapat bermacam-macam. Bisa berbentuk lambing, angka, bilangan, keadaan, bahkan sifat dari objek yang diteliti. Kumpulan dari datum-datum disebut sebagai data. Masih bingung? Coba perhatikan penjelasan contoh berikut ini:

Pak Darto ingin mengukur berat badan dari 4 orang siswanya. Setelah dilakukan penimbangan, didapatkan hasil berat badan siswa yaitu Dara dengan berat badan 55 kg, Ilham dengan berat badan 90 kg, Bejo dengan berat badan 60 kg, dan Putri dengan berat badan 50 kg.

Berdasarkan pada contoh di atas, berat badan siswa (contohnya: 90 kg) merupakan datum. Sementara hasil pengukuran keseluruhan dari 4 siswa tersebut adalah data. Jumlah datum dari contoh di atas adalah 4 (55, 90, 60, 50). 

Penjelasan Pengertian Datum, Data dan Statistika dalam Matematika

Datum

Datum dibedakan ke dalam dua bentuk, yaitu datum berbentuk bilangan dan datum berbentuk kategori. 

Contoh dari datum berbentuk bilangan adalah berat badan siswa, tinggi siswa, nilai matematika siswa, jarak tempuh sebuah mobil, dsb. 

Sementara contoh dari datum berbentuk kategori berkaitan dengan sifat seperti baik dan buruk, tinggi dan rendah, dsb.

Data

Data juga dibedakan menjadi dua kategori yaitu data kuantitatif dan data kualitatif. Data Kuantitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk bilangan atau angka dan nilai bisa berubah-ubah nilainya. Data kuantitatif diperoleh dari hasil sebuah pengukuran dengan menggunakan alat ukur misalnya tinggi badan atau berat badan.

Sedangkan Data Kualitatif adalah data yang menjelaskan keadaan yang menggambarkan suatu objek. misalnya selain tampan, Gilang juga pandai bermain bulu tangkis. data kualitatif biasa diperoleh dari penangkapan panca indra yang kita miliki.

Statistika

Dari penjelasan mengenai datum dan data di atas, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa Statistika adalah sebuah bidang ilmu yang di dalamnya mempelajari materi yang berkaitan dengan pengumpulan, perhitungan dan pengolahan serta penarikan kesimpulan dari data yang diperoleh dari sebuah penelitian.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai Pengertian Datum, Data dan Statistika dalam Matematika semoga bisa menambah sedikit pengetahuan kalian mengenai beberapa istilah yang biasa digunakan di dalam pelajaran matematika mengenai statistika. 

Cara Mudah Membaca Diagram Venn Matematika

Cara Membaca Diagram Venn - sebelumnya sudah kita pelajari bersama Pengertian diagram venn, contoh soal dan pembahasannya maka kali ini materi tersebut kita lanjutkan agar pemahaman  kalian lebih dalam lagi mengenai diagram venn. Rumus matematika dasarkali ini akan menghadirkan bagaimana cara membaca diagram venn. Terkadang masih saja ada yang bingung bahkan tidak mengerti bagaimana cara menjabarkan unsur-unsur yang ada di dalam sebuah diagram venn.

Ketahuilah bahwasannya ketika kita membaca diagram venn, hal terpenting yang harus diperhatikan adalah himpunan semesta serta himpunan-himpunan lainnya yang ada di dalam diagram tersebut. Himpunan semesta dibatasi dengan bidang persegi panjang dan huruf S yang ada di pojok kiri atas dari persegi panjang tersebut. Sementara itu, himpunan-himpunan yang lain digambarkan dengan bidang lingkaran yang ada di dalam persegi panjang tersebut. Dimana biasanya di dalam lingkaran-lingkaran tersebut terdapat titik-titik yang menjadi penunjuk dari tiap-tiap anggota yang ada di dalam himpunan tersebut. Demi mempermudah kalian dalam memahami bagaimana cara membaca diagram venn yang baik dan benar, maka perhatikanlah contoh soal yang ada di bawah ini:

Cara Mudah Membaca Diagram Venn Matematika dan Contoh Soalnya

Contoh Soal:

Amati diagram venn berikut ini:

Dari diagram venn di atas, coba nyatakan himpunan-himpunan di bawah ini dengan menjabarkan masing-masing anggotanya:

a. Himpunan S

b. Himpunan A

c. Himpunan B

d. Anggota himpunan A^B

e. Anggota himpunan AvB

f. Anggota himpunan A/B

g. Anggota Himpunan A^c

Pembahasan:

a. Himpunan S merupakan himpunan semesta. artinya, anggota himpunan S adalah seluruh anggota himpunan yang dibicarakan di dalam diagram tersebut, maka S = {1, 2, 3, 4, 5, ...8}

b. Himpunan A merupakan seluruh anggota himpunan S yang berada di dalam lingkaran himpunan A. maka anggota himpunan A = {1, 4, 6, 7}

c. Himpunan B merupakan seluruh anggota himpunan S yang berada di dalam lingkaran himpunan B. maka anggota himpunan B = {2, 4, 5, 8}

d. Himpunan A^B berisi anggota himpunan A yang juga menjadi anggota himpunan B, Maka A^B = {4}

e. Himpunan AvB berisi seluruh anggota himpunan A dan juga himpunan B, maka AvB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

f. Himpunan A/B di isi oleh anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B. Maka A/B = {1, 6, 7}

g. Himpunan A^c di isi oleh anggota himpunan semesta yang tidak menjadi anggota himpunan A. Maka A^c = {2, 3, 5, 8}

Itulah Cara Mudah Membaca Diagram Venn Matematika. Saya rasa sekarang kalian sudah memahami dengan baik materi pelajaran matematika tentang diagram venn. Semoga kalian bisa lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan materi yang sudah dijelaskan di atas.