Persamaan kuadrat secara umum ditulis ax2 + bx + c = 0. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tersebut, maka nilai dari x1 + x2 = -b/a dan x1 . x2 = c/a.
Berikut ini akan kami sampaikan tentang penyelesaian akar-akar persamaan kuadrat yang menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar.
Contoh 1
Jika a dan b merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 6x + 3 = 0, Tentukan nilai dari ab2+ a2b.
Jawaban:
Diketahui persamaan kuadrat 2x2 – 6x + 3 = 0 mempunyai akar-akar a dan b.
a + b = -(-6/2) = 3
ab = 3/2
ab2 + a2b = ab(b + a)
= ab(a + b)
= 3/2 · 3
= 9/2
= 4 1/2
Contoh 2
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x – 18 = 0. Tentukan nilai x12 + x22.
Jawaban:
x1 dan x2 akar-akar dari x2 – 3x – 18 = 0, sehingga:
x1 + x2 = –(-3/1) = 3
x1 · x2 = -18/1 = –18
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 32 – 2 × (–18)
= 9 + 36 = 45
Jadi, nilai x12 + x22 = 45.
Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 adalah a dan b. Berapakah nilai dari 1/a + 1/b?
Jawaban:
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 adalah a dan b.
a + b = -(-5/1) = 5
ab = 3/1= 3
1/a + 1/b = (a + b)/ab = 5/3
Jadi, nilai 1/a + 1/b = 5/3.
Bagaimana, sudah jelas dengan langkah-langkah penyelesaian di atas?
Mari kita lanjutkan dengan cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akar baru persamaan mempunyai hubungan dengan akar-akar yang lama.
Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 2 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p dan 2q adalah….
Jawaban:
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 2 = 0 adalah p dan q.
p + q = -(b/a) = -(-6/1) = 6
pq = c/a = -2/1 = -2
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2p dan 2q.
2p + 2q = 2 (p + q) = 2 x 6 = 12
(2p) x (2q) = 4pq = 4 x (-2) = -8
Diperoleh persamaan kuadrat baru:
x2 – (2p + 2q)x + (2p)(2q) = 0
x2 – 12x – 8 = 0
Contoh 5
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 4 = 0.
Jawaban:
x2– 5x + 4 = 0 → a = 1, b = -5, c = 4
Misalkan akar-akar persamaan x2 – 5x + 4 = 0, yaitu x1 dan x2.
x1+ x2 = -(-5/1) = 5
x1x2= 4/1 = 4
Jika akar-akar persamaan baru, yaitu p dan q maka p = x1 + 3 dan q = x2+ 3.
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6
= 5 + 6
= 11
p∙q = (x1 + 3)(x2+ 3)
= x1x2 + 3x1+ 3x2 + 9
= x1x2 + 3(x1+ x2) + 9
= 4 + 3 ∙ 5 + 9
= 4 + 15 + 9
= 28
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q)x + pq = 0.
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x2 – 11x + 28 = 0
Contoh 6
Persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (x1– 2) dan (x2 – 2) adalah.
Jawaban:
x2– 2x + 5 = 0, diperoleh a = 1, b = -2, c = 5
x1+ x2 = -b/a = -(-2)/1= 2
x1x2= c/a = 5/1 = 5
Jika akar-akar persamaan baru, yaitu p dan q maka p = x1 – 2 dan q = x2– 2.
p + q = (x1 – 2) + (x2 – 2)
= (x1+ x2 ) – 4
= 2 – 4
= -2
p∙q = (x1 – 2)(x2 – 2)
= x1x2 – 2x1– 2x2 + 4
= x1x2 – 2(x1+ x2) + 4
= 5 – 2 ∙ 2 + 4
= 5 – 4 + 4
= 5
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q)x + pq = 0.
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x2 + 2x + 5 = 0.
Contoh 7
Diketahui x1 dan x2akar-akar persamaan 2x2 + 8x + 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3x1 - 2) dan (3x2 - 2).
Jawaban:
2x2 + 8x - 5 = 0
x1 + x2= -b/a =-8/2 = -4
x1 . x2= c/a= 5/2
Misalkan m = 3x1 – 2 dan n = 3x2- 2, maka:
m + n = (3x1 – 2) + (3x2 - 2)
= 3(x1 + x2) + 4
= 3(-4) + 2
= -10
m x n = (3x1 – 2) ´ (3x2 - 2)
= (3x1) ´ (3x2) – 3x1+ 3x2 + 4
= 9(x1 ´ x2) + 3(x1+ x2) + 4
= 9(5/2) + 3(-4) + 4
= 45/2 -12 + 4
= 14 1/2
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya m = 3x1– 2 dan n = 3x2– 2:
x2 - (m + n)x + (m x n) = 0
x2 - (-10)x + 14 1/2 = 0
2x2 + 20x + 29 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3x1 - 2) dan (3x2 - 2) adalah 2x2 + 20x + 29 = 0.
Demikianlah sedikit materi tentang akar-akar persamaan kuadrat dan penyelesaian masalah menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
Semoga bermanfaat.