Penjelasan Metode Subtitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penjelasan Metode Subtitusi dan Eliminasi - Di dalam menyelesaikan persamaan linear dua variabel, ada berbagai jenis metode yang dapat digunakan diantaranya adaah metode subtitusi dan eliminasi. Untuk bisa menyelesaikan persoaan mengenai SPLDV kita harus memahami dengan baik berbagai metode tersebut. Sebagai langkah awal kalian bisa mempelajari dua metode tersebut terlebih dahulu. Di sini rumus matematika dasarakan mebantu kalian agar bisa memahami kedua etode itu dengan lebih cepat. 

Di dalam postingan ini akan dijelaskan secara sederhana mengena etode substitusi dan eliminasi, kemudian kalian akan diberikan conth-contoh soal mengenai materi tersebut sekaigus dengan langkah-langkah atau cara menyelesaikannya. Langsung saja kalian perhatikan materi di bawah ini dengan seksama.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Subtitusi dan Eliminasi

Metode Substitusi

Metode subtitusi adalah cara menyelesaikan persamaan dengan memasukkan salah satu persamaan ke dalam persamaan yang lain. perhatikan contoh soal berikut:

Contoh Soal:

Tentukanlah nilai p dan q pada persamaan berikut dengan menggunakan metode substitasi:

4p + 3q = 18

p + q = 8

Pembahasan:

Karena persamaan kedua lebih sederhana, kita bisa mengubahnya menjadi 8-p = q setelah itu kita masukkan ke dalam persamaan yang pertama:

4p + 3q = 18

4p + 3(8-p) = 18

4p + 24 - 3p = 18

4p-3p = 18 - 24

p = -6

Setelah kita mendapatkan nilai p = -6 lalu kita masukan ke dalam persamaan kedua untuk mendapat nilai q.

p + q = 8

-6 + q = 8

q = 8+6

q = 14

Mudah bukan? Sekarang kita lanjut mempelajari metode eliminasi.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah sebuah cara menyelesaikan persamaan dengan cara menghilangkan salah satu dari variabel yang ada.

Contoh Soal:

Coba kalian cari nilai x dan y dari kedua persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi:

8x + 3y = 48

3x +   y = 17

Pembahasan:

Pertama kita harus mencari nilai dari variabel x dengan menghilangkan variabel y. Pada persamaan pertama nilai y adalah 3 sementara pada persamaan kedua nilai y adalah 1. Maka kita kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 3 agar nilai y bisa dihilangkan. Perhatikan:

8x + 3y = 48 |X1 ->  8x + 3y = 48

3x +   y = 17 |X3 ->  9x + 3y = 51 -

                                  -x = -3

Karena –x = -3 maka x = 3

Setelah kita mengetahui nilai x, kita bisa mencari nilai ydengan memasukkan nilai x ke dalam salah satu persamaan di atas:

8x + 3y = 48

8 (3) + 3y = 48

24 + 3y = 48

3y = 48-24

3y = 24

y = 24/3

y = 8

maka kita sudah mendapat nilai x = 3 dan nilai y = 8

untuk membuktikannya mari kita masukkan nilai x dan y ke dalam persamaan kedua:

3x +   y = 17

3 (3) + 8 = 17

9 + 8 = 17

Ternyata terbukti nilai x dan y tersebut benar.

Bagaimana, apakah kalian sudah paham tentang materi Penjelasan Metode Subtitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ? Cobalah untuk mengerakan contoh soal yang lain agar semakin mahir dalam menggunakan kedua metode tersebut.

Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel - Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diartikan sebagai himpunan dari  tiga buah persaamaan garis lurus dimana masing-masing persamaan tersebut terdiri dari tiga buah peubah (variable). Ada beberapa metode yang bisa kita pakai untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, yaitu metode subtitusi, eliminasi, dan determinan. Spesial untuk postingan ini Rumus Matematika Dasar akan menjelaskan cara menyelesaikan persamaan tiga variabel tersebut agar kalian bisa lebih cepat dan mudah dalam menjawab soal-soal mengenai materi pelajaran matematika yang satu ini.

Sebenarnya cara menyelesaikannya tidak begitu sulit apabila kalian telah memahami sistem persamaan linear dua variabel. Yuk, mari kita perhatikan langkah-langkahnya di bawah ini:

Langkah Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sama halnya seperti prinsip penyelesaian persamaan yang lain, pertama-tama kita harus mengurangkan (mengeliminasi) 2 persamaan untuk memperoleh persamaan baru dengan menghilangkan 1 buah variabel. Kalian langung saja simak contohnya sebagai berikut:

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut!

3x - 3y - 3z = 9   ........(i)

2x + 2y +  2z = 18  ........(ii)

x - 3y - 3z = -30.......(iii)

Penyelesaian:

Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x - 3y - 3z = 9    | X4  →  12x -  12y - 12z = 36

 x - 3y - 3z = -30  | X3  →  3x - 18y - 12z = -90

                            ____________________ -

                                9x + 6y   = 126  ..........(iv)

  x - 3y - 3z   = -30 | X2  →   2x - 6y - 6z = -30

2x + 2y +  2z = 18  | X-3 → -6x - 6y - 6z = -54

                            ____________________ -

                                      8x = 24  x = 3 .......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)

  9x + 6y  = 126

9(3) + 6y  = 126

  27 + 6y  = 126

       6y  = 126 - 27

       6y  = 99

        y  = 99/6 

        y = 16,5

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x + 2y +  2z = 18

2(3) - 2(16,5) - z  = 18

6 + 33 + z  = 18

       39 + z  = 18

                 z  = 18 - 39

                 z  = -21

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {3; 16,5; -21}

Mungkin itu saja yang bisa dijelaskan mengenai Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Semoga kalian dapat mengerti dan memahami langkah-langkah yang suah dijelaskan. Berlatihlah dengan jenis soal yang lain.

Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Pada artikel kali ini materi yang akan dipelajari adalah tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Materi ini termasuk ke dalam salah satu pokok bahasan yang ada di dalam mata pelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Ada baiknya sebelum mempelajari materi ini kalian terlebih dahulu memahami Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Rumus Matematika Dasar mencoba merangkum materi ini dari berbagai sumber seperti bisa kalian simak di bawah ini:

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)

b.    g o f                                     e.  (g o f) (1)

c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)          = -4x + 4

      f (g (x))           = -4x + 4

2 (g (x)) + 2         = -4x + 4

        2 g (x)           = -4x + 2

           g (x)           =  -4x + 2

                                      2

           g (x)            = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x)telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

Demikian sedikit ulasan yang dapat kami saya uraikan seputar materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk menambah pengetahuan kalian mengenai materi matematika tersebut. mungkin pada kesempatan yang lain saya akan menambahkan beberapa contoh soal mengenai materi ini. jika merasa bingung atau memiliki pertanyaan, silahkan disampaikan melalui kolom komentar yang ada di bawah. sampai jumpa di materi matematika selanjutnya.

Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap

Rumus Barisan dan Deret Geometri - Ketika duduk di bangku SMA kalian akan memperoleh sebuah materi pelajaran matematika yang bernama Barisan dan Deret. Ada dua jenis Barisan dan Deret di dalam matematika. Yang pertama adalah Barisan dan Deret Aritmatika sementara yang kedua adalah Barisan dan Deret Geometri. Karena Rumus Matematika Dasar sudah pernah membahas Materi Barisan dan Deret Aritmatika, maka kali ini materi yang akan dibahas difokuskan kepada penjelasan mengenai definisi dan rumus-rumus yang digunakan dalam barisan dan deret geometri.

Di sini akan dijelaskan konsep dan rumus penyelesaian untuk Barisan dan deret Geometri, kemudian diberikan juga beberapa contoh soal dan penjelasan mengenai bagaimana cara menyelesaikan soal-soal tersebut dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dijelaskan. So, simak materinya dengan baik, ya!

Pengertian dan Rumus Barisan Geometri

Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Contoh Barisan Geometri

untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:

3, 9, 27 , 81, 243, ...

barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:

r = a_k+1/a_k

dimana a_k adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementara a_k+1 adalah suku selanjutnya setelah a_k.

untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

U_n = ar^n-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.

Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1

Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian:

a = 3

r = 4

n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus:

U_n= ar^n-1

U₅= 3 x 4^5-1

U₅= 3 x 256 = 768 bakteri

Pengertian dan Rumus deret Geometri

Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: a_n = a₁r^n-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:

S_n = a₁ + a₁r + a₁r²+ a₁r³ + ... + a₁r^n-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:

Setelah diperoleh S_n - rS_n = a₁ - a₁rⁿmaka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:

Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:

Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2

Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan:

a = 2

r = 4

n = 8

Sn = a  (1-rⁿ) / (1-r)

Sn = 2  (1-4⁸) / (1-4)

Sn = 2  (1-65536)/ (-3)

Sn = 2  (-65535)/ (-3)

Sn = 2 x 21845

Sn = 43690

Inilah akhir dari pembahasan Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap . Terimakasih telah membaca materi ini sampai selesai dan semoga kalian dapat menyerap ilmu dari materi yang dipaparkan di atas. Mohon maaf apabila ada kesalahan di dalam perhitungan angka pada contoh-contoh soal di atas.