Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah persamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan 0.

Contoh bentuk persamaan kuadrat

1. x² + 3x + 2 = 0

1. x² – 2x + 1 = 0

1. 4y² – 9 = 0

1. 3p² – 9p = 0

1. x² + 6x = 16

1. 2m² – 7m = 4

1. 3x² – 4x – 20 = 0

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan solusi atau pengganti variabel yang berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh seperti berikut.

Menentukan penyelesaian dari x²+ 3x + 2 = 0.

x = 1 bukan penyelesaian, sebab 1²+ 3(1) + 2 = 0 bernilai salah

x = 2 bukan penyelesaian, sebab 2²+ 3(2) + 2 = 0 bernilai salah

x = -1 merupakan penyelesaian, sebab (-1)² + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar

x = -2 merupakan penyelesaian, sebab (-2)² + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar

Jadi, penyelesaian dari persamaan x²+ 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.

Cara menentukan penyelesaian dengan cara coba-coba memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka diperlukan cara lain yang lebih efektif dan efisien.

Sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s suatu bilangan dan x adalah variabel akan menghasilkan bentuk aljabar kuadrat.

Dapat ditulis seperti berikut.

(x + p)(x + q) = x² + bx + c

(px + q)(rx + s) = ax² + bx + c

Dengan demikian bentuk ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dalam penyelesaian masalah persamaan kuadrat.

Bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 dapat diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Jadi, penyelesaian dari persamaan kuadrat  tersebut adalah x = -q/p atau x = -s/r.

Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari x²+ 5x + 4 = 0

Jawaban

x² + 5x + 4 = 0

(x – 4)(x – 1) = 0

x – 4 = 0 atau x – 1 = 0

x = 4                   x = 1

Jadi, penyelesaian dari persamaan x²+ 5x + 4 = 0 adalah x = 4 atau x = 1.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x²– 3x – 10 = 0

Jawaban

x² – 3x – 10 = 0

(x + 2)(x – 5) = 0

x + 2 = 0 atau x – 5 = 0

x = -2                      x = 5

Jadi, penyelesaian dari persamaan x²– 3x – 10 = 0 adalah x = -2 atau x = 5.

Contoh 3

Tentukan nilai y yang memenuhi 4y²– 49 = 0

Jawaban

4y²– 49 = 0

(2y)²–7² = 0

(2y – 7)(2y + 7) = 0

2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0

y = 7/2                      y = -7/2

Jadi, penyelesaian dari persamaan 4y²– 49 = 0 adalah x = 7/2 atau x = -7/2

Contoh 4

Tentukan nilai m yang memenuhi 2m²– 7m – 4 = 0

Jawaban

2m² – 7m – 4 = 0

2m² – 8m + m – 4 = 0

2m(m – 4) + m – 4 = 0

(m – 4)(2m + 1) = 0

m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0

m = 4                      m = -1/2

Jadi, penyelesaian dari persamaan 2m²– 7m – 4 = 0 adalah x = 4 atau x = -1/2

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel adalah pertidaksamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah pertidaksamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c >= 0, dan ax²+ bx + c <= 0 dengan a tidak sama dengan 0.

Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat

1. x² + 6x + 5 < 0

1. x² – 4x – 12 > 0

1. 9y² – 25 >= 0

1. 12p² – 9p <= 0

1. x² + 6x > 16

1. 2m² – 7m < 4

1. 3x² – 4x – 20 > 0

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir sama caranya dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk menentukan daerah penyelesaian.

Perhatikan langka-langkah penylesaian dari beberapa contoh pertidaksamaan kuadrat berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari x²– 2x – 8 > 0

Jawaban

x² – 2x – 8 > 0

(x + 2)(x – 4) > 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x + 2 = 0 atau x – 4 = 0

x = -2                      x = 4

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < -2 bernilai positif

Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif

Daerah x > 4 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah lebih dari 0 (....> 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai positif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x²– 2x – 8 > 0 adalah x < -2 atau x > 4.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x²– 7x + 10 < 0

Jawaban

x² – 7x + 10 < 0

(x – 5)(x – 2) < 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x – 5 = 0 atau x – 2 = 0

     x = 5                x = 2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < 2 bernilai positif

Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif

Daerah x > 5 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... < 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x²– 7x + 10 < 0 adalah 2 < x < 5.

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dari 3x²– 4x – 20 <= 0

Jawaban

3x² – 4x – 20 <= 0

3x² + 6x – 10x – 20 <= 0

3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0

(3x – 10) (x + 2) <= 0

Menentukan pembuat nol fungsi

3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0

          x = 10/3               x = –2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < –2bernilai positif

Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif

Daerah x > 10/3 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... <= 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 3x²– 4x – 20 <= 0 adalah -2 < x < 10/3.

Prediksi Soal Ujian Sekolah/Madrasah (US/M) Matematika SD/MI 2016

Bapak ibu guru, Bapak ibu/wali orangtua siswa SD/MI yang saya hormati,
Berikut ini akan saya berikan soal-soal prediksi US/M khusus mata pelajaran Matematika SD yang sudah kami pilih sesuai dengan kisi-kisi yang terbaru (2016) yang disahkan oleh Kementerian Pendidikan Nasional.

Dengan soal-soal yang kami siapkan ini semoga menjadikan kemanfaatan dan digunakan untuk latihan putra-putri bapak/ibu.
Adapun soal-soal prediksi ini terdiri atas jabaran dari 60 indikator yang sudah dikeluarkan oleh pemerintah. Jadi pemerintah menyiapkan 60 kisi-kisi soal yang pasti dikeluarkan dalamwujud soal.

Nah, dari 60 kisi-kisi/indikator US/M berikut ini sudah saya wujudkan ke dalam bentuk soal-soal yang akan mirip dengan soal yang akan diujian-kan tahun ini. Setiap indikator kami berikan 2 soal, sehingga ada 120 soal yang bisa dapatkan di sini.

Soal ini bisa anda gunakan untuk latihan putra/putri Anda, siswa-siswi di sekolah Anda.
Semoga bermanfaat.

Silakan Anda unduh di bawah ini.

Menjumlahkan dan Mengurangkan Bilangan Pecahan

Pada kesempatan ini akan diberikan cara menjumlah dan mengurangkan pecahan secara cepat dan efektif. 
Masih banyak siswa yang belum tahu caranya menjumlah/mengurangkan pecahan, bahkan masih banyak pula yang nasih salah dalam menjumlah dan mengurangkan pecahan.
Untuk itu mari belajar menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bersama-sama.

Menjumlah dan mengurangkan Pecahan Berpenyebut Sama

Pada penjumlahan/pengurangan berpenyebut sama, jumlahkan/kurangkan bilangan pembilangnya.
Kemudian sederhanakan 









Menjumlah dan mengurangkan Pecahan Campuran Berpenyebut Sama

 Kerjakan pada bilangan  bulat dengan bilangan yang bulat, bilangan pecahan dengan bilangan pecahan.








Menjumlah dan mengurangkan Pecahan Berpenyebut Berbeda

Pada penjumlahan dan pengurangan ini, samakan terlebih dahulu penyebutnya. Dengan cara diubah menjadi bilangan KPK dari penyebut-penyebutnya.
Kemudian jumlahkan dan kurangkan pecahan tersebut. 








 



Menjumlah dan mengurangkan Pecahan Campuran Berpenyebut Berbeda

 

 Kerjakan pada bilangan bulat dengan bilangan yang bulat, bilangan pecahan dengan bilangan pecahan.





 Pengurangan Khusus Bilangan Bulat dan Pecahan 

 Perhatikan pola pada bilangan bulat dan pembilangnya.
Pembilang pada hasil merupakan selisih pembilang dan penyebut pada Soal. Sedangkan bagian bulat pada hasil,merupakan 1 kurangnya dari soal.


Operasi Hitung Campuran Bilangan Pecahan

 
Penyebut pada operasi hitung di samping berbeda. Oleh karena itu, samakan terlebih dahulu penyebutnya.
Setelah penyebut sama, operasikan bilangan pada pembilang-pembilangnya.

Penyebut pada operasi hitung di samping berbeda. Oleh karena itu, samakan terlebih dahulu penyebutnya. Kelompokkan bilangan bulat dengan bulat, pecahan dengan pecahan.
Kerjakan seperti di samping.






 
Demikian sedikit materi tantang cara menjumlah dan mengurang bilangan pecahan, baik pecahan berpenyebut sama dan penyebut berbeda. Semoga bermanfaat.