Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan 0.
Contoh bentuk persamaan kuadrat
- x2 + 3x + 2 = 0
- x2 – 2x + 1 = 0
- 4y2 – 9 = 0
- 3p2 – 9p = 0
- x2 + 6x = 16
- 2m2 – 7m = 4
- 3x2 – 4x – 20 = 0
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan solusi atau pengganti variabel yang berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.
Sebagai contoh seperti berikut.
Menentukan penyelesaian dari x2+ 3x + 2 = 0.
x = 1 bukan penyelesaian, sebab 12+ 3(1) + 2 = 0 bernilai salah
x = 2 bukan penyelesaian, sebab 22+ 3(2) + 2 = 0 bernilai salah
x = -1 merupakan penyelesaian, sebab (-1)2 + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar
x = -2 merupakan penyelesaian, sebab (-2)2 + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar
Jadi, penyelesaian dari persamaan x2+ 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.
Cara menentukan penyelesaian dengan cara coba-coba memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka diperlukan cara lain yang lebih efektif dan efisien.
Sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s suatu bilangan dan x adalah variabel akan menghasilkan bentuk aljabar kuadrat.
Dapat ditulis seperti berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + bx + c
(px + q)(rx + s) = ax2 + bx + c
Dengan demikian bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dalam penyelesaian masalah persamaan kuadrat.
Bentuk persamaan ax2 + bx + c = 0 dapat diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Jadi, penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = -q/p atau x = -s/r.
Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari x2+ 5x + 4 = 0
Jawaban
x2 + 5x + 4 = 0
(x – 4)(x – 1) = 0
x – 4 = 0 atau x – 1 = 0
x = 4 x = 1
Jadi, penyelesaian dari persamaan x2+ 5x + 4 = 0 adalah x = 4 atau x = 1.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari x2– 3x – 10 = 0
Jawaban
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x + 2 = 0 atau x – 5 = 0
x = -2 x = 5
Jadi, penyelesaian dari persamaan x2– 3x – 10 = 0 adalah x = -2 atau x = 5.
Contoh 3
Tentukan nilai y yang memenuhi 4y2– 49 = 0
Jawaban
4y2– 49 = 0
(2y)2–72 = 0
(2y – 7)(2y + 7) = 0
2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0
y = 7/2 y = -7/2
Jadi, penyelesaian dari persamaan 4y2– 49 = 0 adalah x = 7/2 atau x = -7/2
Contoh 4
Tentukan nilai m yang memenuhi 2m2– 7m – 4 = 0
Jawaban
2m2 – 7m – 4 = 0
2m2 – 8m + m – 4 = 0
2m(m – 4) + m – 4 = 0
(m – 4)(2m + 1) = 0
m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0
m = 4 m = -1/2
Jadi, penyelesaian dari persamaan 2m2– 7m – 4 = 0 adalah x = 4 atau x = -1/2
Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel adalah pertidaksamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.
Pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah pertidaksamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c >= 0, dan ax2+ bx + c <= 0 dengan a tidak sama dengan 0.
Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat
- x2 + 6x + 5 < 0
- x2 – 4x – 12 > 0
- 9y2 – 25 >= 0
- 12p2 – 9p <= 0
- x2 + 6x > 16
- 2m2 – 7m < 4
- 3x2 – 4x – 20 > 0
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir sama caranya dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk menentukan daerah penyelesaian.
Perhatikan langka-langkah penylesaian dari beberapa contoh pertidaksamaan kuadrat berikut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari x2– 2x – 8 > 0
Jawaban
x2 – 2x – 8 > 0
(x + 2)(x – 4) > 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x + 2 = 0 atau x – 4 = 0
x = -2 x = 4
Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.
Daerah x < -2 bernilai positif
Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif
Daerah x > 4 bernilai positif
Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah lebih dari 0 (....> 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai positif.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x2– 2x – 8 > 0 adalah x < -2 atau x > 4.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari x2– 7x + 10 < 0
Jawaban
x2 – 7x + 10 < 0
(x – 5)(x – 2) < 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x – 5 = 0 atau x – 2 = 0
x = 5 x = 2
Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.
Daerah x < 2 bernilai positif
Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif
Daerah x > 5 bernilai positif
Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... < 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x2– 7x + 10 < 0 adalah 2 < x < 5.
Contoh 3
Tentukan penyelesaian dari 3x2– 4x – 20 <= 0
Jawaban
3x2 – 4x – 20 <= 0
3x2 + 6x – 10x – 20 <= 0
3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0
(3x – 10) (x + 2) <= 0
Menentukan pembuat nol fungsi
3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0
x = 10/3 x = –2
Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.
Daerah x < –2bernilai positif
Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif
Daerah x > 10/3 bernilai positif
Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... <= 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 3x2– 4x – 20 <= 0 adalah -2 < x < 10/3.