1. Aturan Pencacahan / Atuan Perkalian
Aturan pencacahan dan aturan perkalian merupakan salah satu ilmu yang dipelajari dalam matematika di tingkat SMA. Aturan perkalian/pencacahan digunakan dalam menghitung banyaknya cara kita bisa menyusun atau membuat dari beberapa objek yang digunakan. Tentunya dengan syarat yang sudah ditentukan.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Adi mempunyai 2 pasang sepatu (warna hitam dan putih) dan 3 pasang kaus kaki (warna hitam, putih dan coklat). Berapa cara berbeda Adi memakai sepatu dan kaos kaki?
Jawaban:
Misalkan jenis/warna sepatu = H dan P
Jenis/warna kaus kaki = h, p, c
Sehingga Adi bisa mengkombinasi antara sepatu dan kaus kaki sebgai berikut.
Hh, Hp, Hc, Ph, Pp, Pc (Hh = Sepatu hitam-Kaus kaki hitam)
Jadi, ada 6 cara berbeda Adi memakai kombinasi sepatu dan kaus kaki.
Cara 2:
Jenis dan banyak sepatu = 2
Jenis dan banyak kaus kaki = 3
Banyak cara mengkombinasi sepatu dan kaus kaki adalah :
= 2 x 3
= 6 cara
Contoh 2
Pak Budi akan pergi ke kota X melalui kota Y. Dari rumah ke kota Y dapat melalui 4 rute. Dari kota Y ke kota X dapat melalui 2 rute. Berapa banyak rute yang berbeda dapat ditempuh Pak Budi?
Jawaban:
Rute dari rumah ke kota Y = 4 rute
Rute dari kota Y ke kota X = 2 rute
Banyak rute berbeda yang ditempuh Pak Budi
= 4 x 2
= 8
Jadi, ada 8 rute berbeda yang dapat ditempuh Pak Budi.
Contoh 3
Terdapat bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibuat bilangan tiga angka. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika mempunyai syarat berikut.
a. Boleh ada angka yang sama
b. Tidak ada pengulangan angka yang sama.
c. Bilangan yang terbentuk lebih dari 300 (boleh pengulangan angka)
d. Bilangan yang terbentuk lebih dari 300 ( tidak ada pengulangan angka yang sama)
Jawaban:
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan ratusan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Terdapat 3 tempat yang dapat diisi angka
a. Boleh ada angka yang sama (angka boleh diulang)
Pada Ratusan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Puluhan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia
b. Tidak ada pengulangan angka yang sama
Pada Ratusan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Puluhan : Bisa memilih 4 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan)
Pada Satuan : Bisa memilih 3 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan & puluhan)
c. Bilangan di atas 300 dengan angka-angkanya boleh diulang
Pada Ratusan : Bisa memilih 3 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, dan 5)
Pada Puluhan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia
d. Bilangan di atas 300 dengan angka-angkanya tidak boleh diulang
Pada Ratusan : Bisa memilih 3 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, dan 5)
Pada Puluhan : Bisa memilih 4 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan)
Pada Satuan : Bisa memilih 3 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan dan satuan)
Contoh 4
Terdapat bilangan 0 sampai dengan 9 akan dibuat bilangan empat angka (bilangan Ribuan). Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika mempunyai syarat berikut.
a. Bilangan ganjil
b. Bilangan kelipatan 5
c. Bilangan antara 3.000 dan 7.000
Catatan : Angka boleh diulang pada setiap bilangan
Jawaban:
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia (yaitu angka 1, 3, 5, 7, dan 9)
Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, dan puluhan.
Pada Ribuan : Bisa memilih 9 angka tersedia (selain 0)
Pada Ratusan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada Puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Banyak bilangan yang terbentuk
b. Bilangan kelipatan 5.
Ciri bilangan kelipatan 5 adalah bilangan yang satuannya angka 0 dan 5.Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka satuannya angka 0 dan 5.
Pada Satuan : Bisa memilih 2 angka tersedia (yaitu angka 0 dan 5)
Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, dan puluhan.
Pada Ribuan : Bisa memilih 9 angka tersedia (selain 0)
Pada Ratusan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada Puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Banyak bilangan yang terbentuk
Aturan pencacahan dan aturan perkalian merupakan salah satu ilmu yang dipelajari dalam matematika di tingkat SMA. Aturan perkalian/pencacahan digunakan dalam menghitung banyaknya cara kita bisa menyusun atau membuat dari beberapa objek yang digunakan. Tentunya dengan syarat yang sudah ditentukan.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Adi mempunyai 2 pasang sepatu (warna hitam dan putih) dan 3 pasang kaus kaki (warna hitam, putih dan coklat). Berapa cara berbeda Adi memakai sepatu dan kaos kaki?
Jawaban:
Misalkan jenis/warna sepatu = H dan P
Jenis/warna kaus kaki = h, p, c
Sehingga Adi bisa mengkombinasi antara sepatu dan kaus kaki sebgai berikut.
Hh, Hp, Hc, Ph, Pp, Pc (Hh = Sepatu hitam-Kaus kaki hitam)
Jadi, ada 6 cara berbeda Adi memakai kombinasi sepatu dan kaus kaki.
Cara 2:
Jenis dan banyak sepatu = 2
Jenis dan banyak kaus kaki = 3
Banyak cara mengkombinasi sepatu dan kaus kaki adalah :
= 2 x 3
= 6 cara
Contoh 2
Pak Budi akan pergi ke kota X melalui kota Y. Dari rumah ke kota Y dapat melalui 4 rute. Dari kota Y ke kota X dapat melalui 2 rute. Berapa banyak rute yang berbeda dapat ditempuh Pak Budi?
Jawaban:
Rute dari rumah ke kota Y = 4 rute
Rute dari kota Y ke kota X = 2 rute
Banyak rute berbeda yang ditempuh Pak Budi
= 4 x 2
= 8
Jadi, ada 8 rute berbeda yang dapat ditempuh Pak Budi.
Contoh 3
Terdapat bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibuat bilangan tiga angka. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika mempunyai syarat berikut.
a. Boleh ada angka yang sama
b. Tidak ada pengulangan angka yang sama.
c. Bilangan yang terbentuk lebih dari 300 (boleh pengulangan angka)
d. Bilangan yang terbentuk lebih dari 300 ( tidak ada pengulangan angka yang sama)
Jawaban:
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan ratusan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Ratusan | Puluhan | Satuan |
Terdapat 3 tempat yang dapat diisi angka
a. Boleh ada angka yang sama (angka boleh diulang)
Pada Ratusan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Puluhan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia
5 cara | 5 cara | 5 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 5 x 5 x 5
= 125
Jadi, ada 125 bilangan yang dapat dibuat.
b. Tidak ada pengulangan angka yang sama
Pada Ratusan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Puluhan : Bisa memilih 4 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan)
Pada Satuan : Bisa memilih 3 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan & puluhan)
5 cara | 4 cara | 3 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 5 x 4 x 3
= 60
Jadi, ada 60 bilangan yang dapat dibuat.
c. Bilangan di atas 300 dengan angka-angkanya boleh diulang
Pada Ratusan : Bisa memilih 3 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, dan 5)
Pada Puluhan : Bisa memilih 5 angka tersedia
Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia
3 cara | 5 cara | 5 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 3 x 5 x 5
= 75
Jadi, ada 75 bilangan yang nilainya di atas 300.
d. Bilangan di atas 300 dengan angka-angkanya tidak boleh diulang
Pada Ratusan : Bisa memilih 3 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, dan 5)
Pada Puluhan : Bisa memilih 4 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan)
Pada Satuan : Bisa memilih 3 angka tersisa (satu angka sudah dipakai di ratusan dan satuan)
3 cara | 4 cara | 3 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 3 x 4 x 3
= 36
Jadi, ada 36 bilangan yang nilainya di atas 300 dengan angka berbeda.
Terdapat bilangan 0 sampai dengan 9 akan dibuat bilangan empat angka (bilangan Ribuan). Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika mempunyai syarat berikut.
a. Bilangan ganjil
b. Bilangan kelipatan 5
c. Bilangan antara 3.000 dan 7.000
Catatan : Angka boleh diulang pada setiap bilangan
Jawaban:
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Ribuan | Ratusan | Puluhan | Satuan |
Terdapat 4 tempat yang dapat diisi angka
a. Bilangan ganjil. Ciri bilangan ganjil adalah bilangan yang satuaanya angka 1, 3, 5, 7, atau 9.Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka satuannya angka ganjil.Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia (yaitu angka 1, 3, 5, 7, dan 9)
Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, dan puluhan.
Pada Ribuan : Bisa memilih 9 angka tersedia (selain 0)
Pada Ratusan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada Puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
9 cara | 10 cara | 10 cara | 5 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 9 x 10 x 10 x 5
=4.500
Jadi, ada 4.500 bilangan ganjil yang terbentuk.
b. Bilangan kelipatan 5.
Ciri bilangan kelipatan 5 adalah bilangan yang satuannya angka 0 dan 5.Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka satuannya angka 0 dan 5.
Pada Satuan : Bisa memilih 2 angka tersedia (yaitu angka 0 dan 5)
Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, dan puluhan.
Pada Ribuan : Bisa memilih 9 angka tersedia (selain 0)
Pada Ratusan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada Puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
9 cara | 10 cara | 10 cara | 2 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 9 x 10 x 10 x 2
=1.800
Jadi, ada 1.800 bilangan kelipatan 5 yang terbentuk.
c. Bilangan antara 3.000 dan 7.000.
Ciri bilangan antara 3.000 dan 7.000 adalah bilangan yang ribuannya3, 4, 5, dan 6. Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka ribuannya haruslah angka 3, 4, 5, dan 6.
Pada Ribuan : Bisa memilih 4 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, 5, dan 6)
Baru kemudian angka-angka pada ratusan, puluhan dan satuan.
Pada Ratusan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada satuan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
Banyak bilangan yang terbentuk
c. Bilangan antara 3.000 dan 7.000.
Ciri bilangan antara 3.000 dan 7.000 adalah bilangan yang ribuannya3, 4, 5, dan 6. Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka ribuannya haruslah angka 3, 4, 5, dan 6.
Pada Ribuan : Bisa memilih 4 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, 5, dan 6)
Baru kemudian angka-angka pada ratusan, puluhan dan satuan.
Pada Ratusan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada satuan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk adalah bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.
4 cara | 10 cara | 10 cara | 10 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
= 4 x 10 x 10 x 10
= 4.000
Jadi, ada 4.000 bilangan antara 3.000 dan 7.000 yang terbentuk.
Demikianlah sedikit materi tentang aturan perkalian/pencacahan.
Selanjutnya, mari mempelajari tentang permutasi dan kombinasi.
Contoh 5
Diberikan angka 0, 1, 2,3, 4, dan 5. Dari angka tersebut akan dibuat bilangan tiga angka (ratusan) tanpa ada angka yang sama. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat disusun jika :
a. jumlah digit pembentuknya sama dengan 6.
b. jumlah digit pembentuknya sama dengan 9.
Jawaban:
a. Kelompok angka-angka yang dijumlahkan 6.
(0, 1, dan 5) dapat dibuat 105, 150, 501, 510
(0, 2, dan 4) dapat dibuat 204, 240, 402, 420
(1, 2, dan 3) dapat dibuat 123, 132, 213, 231, 312, 321
Ada 14 bilangan.
Jadi,ada14 bilangan ratusan yang jumlah digit-digitnya 6.
b. Kelompok angka-angka yang dijumlahkan 9 dan bilangan yang terbentuk.
(0, 4, dan 5) dapat dibuat 405, 450, 504, 540
(1, 3, dan 5) dapat dibuat 135, 153, 315, 351, 513, 53
(2, 3, dan 4) dapat dibuat 234, 243, 324, 342, 423. 432
Ada 16 bilangan.
Jadi,ada16 bilangan ratusan yang jumla digit-digitnya 6.
Demikianlah sedikit materi tentang aturan perkalian/pencacahan.
Selanjutnya, mari mempelajari tentang permutasi dan kombinasi.
Contoh 5
Diberikan angka 0, 1, 2,3, 4, dan 5. Dari angka tersebut akan dibuat bilangan tiga angka (ratusan) tanpa ada angka yang sama. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat disusun jika :
a. jumlah digit pembentuknya sama dengan 6.
b. jumlah digit pembentuknya sama dengan 9.
Jawaban:
a. Kelompok angka-angka yang dijumlahkan 6.
(0, 1, dan 5) dapat dibuat 105, 150, 501, 510
(0, 2, dan 4) dapat dibuat 204, 240, 402, 420
(1, 2, dan 3) dapat dibuat 123, 132, 213, 231, 312, 321
Ada 14 bilangan.
Jadi,ada14 bilangan ratusan yang jumlah digit-digitnya 6.
b. Kelompok angka-angka yang dijumlahkan 9 dan bilangan yang terbentuk.
(0, 4, dan 5) dapat dibuat 405, 450, 504, 540
(1, 3, dan 5) dapat dibuat 135, 153, 315, 351, 513, 53
(2, 3, dan 4) dapat dibuat 234, 243, 324, 342, 423. 432
Ada 16 bilangan.
Jadi,ada16 bilangan ratusan yang jumla digit-digitnya 6.
