Mempelajari Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema sisa dan teorema faktor merupakan materi lanjutan suku banyak. Dalam materi teorema sisa dan torema faktor hanya mempelajari sisa dan faktornya. Dengan kata lain tidak menentukan hasil bagi pembagiannya.

Pada kesempatan ini mari mempelajari teorema-teorema berikut ini.

Teorema sisa 1.

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi dengan  x – a, maka sisanya adalah F(a).

Teorema sisa 2.

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi dengan  ax – b, maka sisanya adalah F(b/a)

Sebagai bukti perhatikan yang berikut ini.

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

H(x) = hasil bagi

S(x) = Sisa pembagian

Atau dengan bentuk lain ditulis:

F(x) = (x – a).H(x) + S(x) , F(x) dibagi (x – a) mempunyai sisa S(x).

Jika x = a, maka

F(a) = 0.H(a) + S(a)

F(a) = S(a)

Artinya, jika F(x) dibagi (x – a) maka sisanya F(a)

Contoh 1

Tentukan sisa pembagian apabila F(x) = x³ – 5x² + 6x – 8 dibagi oleh (x – 2 ).

Jawaban :

F(x) dibagi x – 2 mempunyai sisa F(2)

F(x) = x³ – 5x² + 6x – 8

F(2) = 2³ – 5.2² + 6.2 – 8

      = 8 – 20 + 12 – 8

      = -8

Jadi, sisa pembagian dari F(x) = x³ – 5x² + 6x – 8 dibagi oleh (x – 2 ) adalah -8.

Contoh 2

Diketahui suku banyak F(x) = x³ – ax² + 2x – 6. Jika F(x) dibagi oleh (x + 1 ) bersisa 5, tentukan nilai a.

Jawaban :

F(x) dibagi x + 1 mempunyai sisa 5, maka F(-1) = 5.

F(x) = x³ – ax² + 2x – 6

F(-1) = 5 maka  (-1)³ – a(-1)²+ 2(-1) – 6 = 5

                                       -1 – a – 2 – 6 = 5

                                                 -9 – a = 5

                                                       a = -14

Jadi, nilai a = -14

Contoh 3

Diketahui suku banyak F(x) = 2x³ – 3x² + x – 4. Jika F(x) dibagi oleh (2x – 1 ), tentukan nilai sisanya.

Jawaban :

Jika F(x) dibagi oleh (2x – 1 ), maka sisanya adalah F(1/2).

F(x) = 2x³ – 3x² + x – 4

F(1/2) = 2.(1/2)³ – 3.(1/2)² + 1/2 – 4
         = 1/2 - 3/4 + 1/2 - 4
         = - 3 3/4
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3 3/4

Contoh 4

Tentukan sisa pembagian suku banyak F(x) = 3x⁴ – 2x – 4 yang dibagi oleh (x – 1)(x + 1).

Jawaban :

Misalkan sisa pembagian suku banyak F(x) oleh (x – 1)(x + 1) mempunyai sisa ax + b.

1)    F(x) dibagi x – 1 mempunyai sisa F(1) atau sisanya a(1) + b

F(1) = 3.1⁴ – 2.1 – 4 = -3

Diperoleh persamaan:

F(1) = a + b, sehingga a + b = -3 .......(1)

2)    F(x) dibagi x + 1 mempunyai sisa F(-1) atau sisanya a(-1) + b atau ditulis -a + b

F(-1) = 3.(-1)⁴ – 2.(-1) – 4 = 3 + 2 – 4 = 1

Diperoleh persamaan:

F(-1) = -a + b, sehingga -a + b = 1 .......(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh nilai a dan b dengan cara eliminasi.

 a + b = -3

-a + b = 1

_________  +

   2b  = -2

     b = -1

Sehingga diperoleh nilai a = -2.

Dengan mengganti nilai a dan b pada ax + b, maka diperoleh -2x – 1.

Jadi, sisa pembagian pada suku banyak F(x) = 3x⁴ – 2x – 4 yang dibagi oleh (x – 1)(x + 1) adalah -2x – 1.

Teorema Faktor.
x - a merupakan suatu faktor dari suku banyak F(x) jika dan hanya jika F(a) = 0. Atau

Jika pada suku banyak F(x) diperoleh F(a) = 0, maka x - a merupakan faktor dari suku banyak F(x).

Contoh 5

Diketahui suku banyak F(x) = x³ – 4x² + x + p mempunyai faktor (x – 2). Tentukan nilai p.

Jawaban:

Diketahui x – 2 merupakan faktor dari F(x), maka F(2) = 0.

F(x) = x³ – 4x² + x + p

F(2) = 0

2³– 4.2² + 2 + p = 0

    8 – 16 + 2 + p = 0

                -6 + p = 0

                       P = 6

Jadi, nilai p = 6

 

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak dengan Cara Horner

Mari kita melanjutkan cara membagi suku banyak dengan Cara Horner. Sebelumnya kita sudah membagi Pembagian Suku banyak dengan cara membagi biasa.
Dalam pembagian Suku banyak cara Horner, diperoleh hasil pembagian dan sisa pembagian.
Secara umumdapat dituliskan hubunganantara Suku banyak P(x), pembagi p(x), Hasil bagi H(x) dan sisa (S) sebgai berikut.

P(x) = H(x).p(x) + S

Agar lebih jelas, perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1
Tentukan hasil pembagian dan sisa pembagian jika suku banyak P(x) =

P(x) = x⁴ + 4x³ – 3x² + 6x² – 8 dibagi oleh x - 2.

Jawaban:

Pembagian cara Horner dapat dilakukan dengan cara berikut.

Dari Cara di atas diperoleh Hasil bagi x³ + 6x² + 9x + 24 dan sisa 40.

Perhatikan lagi contoh berikut.

Contoh 2
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika suku banyak P(x) =
P(x) = x⁴ + 5x³ – 3x² + 12x – 30 dibagi oleh x + 3

Jawaban:

Pembagian dengan cara Horner dapat dilakukan dengan cara berikut.

Dari Cara di atas diperoleh Hasil bagi x³ + 2x² + 9x - 15 dan sisa 15.

Selanjutnya, jika suatu polinomial / suku banyak P(x) dibagi bentuk (ax - b) sehingga dapat dituliskan :

P(x) = H(x).(ax - b) + S

Maka Hasil pembagiannya adalah H(x)/a dan sisanya P(b/a).

Perhatikan contoh Berikut

Contoh 3
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari P(x) = 2x⁴ + x³ – 4x² + 7x² – 24 dibagi oleh 2x - 3

Jawaban:
Dengan Cara Horner

Jadi, diperoleh hasil bagi x³ + 2x² + x + 5 dan sisa -9.

 Perhatikan contoh yang lain lagi.

Contoh 4
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari P(x) = 3x⁵ + 4x³+ 7x³ – 4x + 12 dibagi oleh 3x + 1.

Jawaban :
Penyelesaian dengan Cara Horner

Jadi, diperoleh Hasil Bagi x⁴ + x³ + 2x² - 2/3 x – 10/9 dan sisa pembagian 11 1/9.

Demikian sedikit gambaran tentang cara melakukan pembagian suku banyak dengan cara Horner.

Selanjutnya kita akan mempelajari tentang Teorama Sisa daan Teorema Faktor. Untuk melanjutknya klik yang berikut.
Teorema Sisa dan Teorema Faktor