Teorema sisa dan teorema faktor merupakan materi lanjutan suku banyak. Dalam materi teorema sisa dan torema faktor hanya mempelajari sisa dan faktornya. Dengan kata lain tidak menentukan hasil bagi pembagiannya.
Pada kesempatan ini mari mempelajari teorema-teorema berikut ini.
Teorema sisa 1.
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi dengan x – a, maka sisanya adalah F(a).
Teorema sisa 2.Jika suatu suku banyak F(x) dibagi dengan ax – b, maka sisanya adalah F(b/a)
Teorema sisa 2.
Sebagai bukti perhatikan yang berikut ini.
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
H(x) = hasil bagi
S(x) = Sisa pembagian
Atau dengan bentuk lain ditulis:
F(x) = (x – a).H(x) + S(x) , F(x) dibagi (x – a) mempunyai sisa S(x).
Jika x = a, maka
F(a) = 0.H(a) + S(a)
F(a) = S(a)
Artinya, jika F(x) dibagi (x – a) maka sisanya F(a)
Contoh 1
Tentukan sisa pembagian apabila F(x) = x3 – 5x2 + 6x – 8 dibagi oleh (x – 2 ).
Jawaban :
F(x) dibagi x – 2 mempunyai sisa F(2)
F(x) = x3 – 5x2 + 6x – 8
F(2) = 23 – 5.22 + 6.2 – 8
= 8 – 20 + 12 – 8
= -8
Jadi, sisa pembagian dari F(x) = x3 – 5x2 + 6x – 8 dibagi oleh (x – 2 ) adalah -8.
Contoh 2
Diketahui suku banyak F(x) = x3 – ax2 + 2x – 6. Jika F(x) dibagi oleh (x + 1 ) bersisa 5, tentukan nilai a.
Jawaban :
F(x) dibagi x + 1 mempunyai sisa 5, maka F(-1) = 5.
F(x) = x3 – ax2 + 2x – 6
F(-1) = 5 maka (-1)3 – a(-1)2+ 2(-1) – 6 = 5
-1 – a – 2 – 6 = 5
-9 – a = 5
a = -14
Jadi, nilai a = -14
Contoh 3
Diketahui suku banyak F(x) = 2x3 – 3x2 + x – 4. Jika F(x) dibagi oleh (2x – 1 ), tentukan nilai sisanya.
Jawaban :
Jika F(x) dibagi oleh (2x – 1 ), maka sisanya adalah F(1/2).
F(x) = 2x3 – 3x2 + x – 4
F(1/2) = 2.(1/2)3 – 3.(1/2)2 + 1/2 – 4
= 1/2 - 3/4 + 1/2 - 4
= - 3 3/4
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3 3/4
= 1/2 - 3/4 + 1/2 - 4
= - 3 3/4
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3 3/4
Contoh 4
Teorema Faktor.
x - a merupakan suatu faktor dari suku banyak F(x) jika dan hanya jika F(a) = 0. Atau
Tentukan sisa pembagian suku banyak F(x) = 3x4 – 2x – 4 yang dibagi oleh (x – 1)(x + 1).
Jawaban :
Misalkan sisa pembagian suku banyak F(x) oleh (x – 1)(x + 1) mempunyai sisa ax + b.
1) F(x) dibagi x – 1 mempunyai sisa F(1) atau sisanya a(1) + b
F(1) = 3.14 – 2.1 – 4 = -3
Diperoleh persamaan:
F(1) = a + b, sehingga a + b = -3 .......(1)
2) F(x) dibagi x + 1 mempunyai sisa F(-1) atau sisanya a(-1) + b atau ditulis -a + b
F(-1) = 3.(-1)4 – 2.(-1) – 4 = 3 + 2 – 4 = 1
Diperoleh persamaan:
F(-1) = -a + b, sehingga -a + b = 1 .......(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh nilai a dan b dengan cara eliminasi.
a + b = -3
-a + b = 1
_________ +
2b = -2
b = -1
Sehingga diperoleh nilai a = -2.
Dengan mengganti nilai a dan b pada ax + b, maka diperoleh -2x – 1.
Jadi, sisa pembagian pada suku banyak F(x) = 3x4 – 2x – 4 yang dibagi oleh (x – 1)(x + 1) adalah -2x – 1.
Teorema Faktor.
x - a merupakan suatu faktor dari suku banyak F(x) jika dan hanya jika F(a) = 0. Atau
Jika pada suku banyak F(x) diperoleh F(a) = 0, maka x - a merupakan faktor dari suku banyak F(x).
Contoh 5
Diketahui suku banyak F(x) = x3 – 4x2 + x + p mempunyai faktor (x – 2). Tentukan nilai p.
Jawaban:
Diketahui x – 2 merupakan faktor dari F(x), maka F(2) = 0.
F(x) = x3 – 4x2 + x + p
F(2) = 0
23– 4.22 + 2 + p = 0
8 – 16 + 2 + p = 0
-6 + p = 0
P = 6
Jadi, nilai p = 6