Faktor, Kelipatan, Faktor Prima, Faktorisasi Prima, KPK dan FPB (2)

Dalam kesempatan ini kita akan membahas dan belajar tentang Faktor prima, faktorisasi prima, Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan Faktor persekutuan terbesar (FPB) menggunakan faktorisasi prima.

 
Faktorisasi Prima dan Faktor Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Bilangan prima = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .

Faktorisasi prima adalah penjabaran suatu bilangan menjadi perkalian-perkalian bilangan prima. Jadi, dengan perkalian beberapa bilangan prima diperoleh hasil boilangan itu.

Contoh 

6 = 2 x 3          (2 dan 3 adalah bilangan prima)

20 = 2 x 2 x 5  (2 dan 5 adalah bilangan prima)

45 = 3 x 3 x 5  (3 dan 5 adalah bilangan prima)

70 = 2 x 5 x 7  (2, 5, dan 7 adalah bilangan prima)

Bentuk bentuk di atas merupakan contoh faktorisasi prima dari suatu bilangan.

Faktor Prima adalah bilangan-bilangan prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
Misalkan pada faktorisasi prima di atas.
6 memiliki faktor prima 2 dan 3 .
20 memiliki faktor prima 2 dan 5.
45 memiliki faktor prima 3 dan 5.
70 memiliki faktor prima 2, 3, dan 5.

Untuk bilangan-bilangan yang kecil, mungkin mudah untuk membuat faktorisasi prima. Namun untuk bilangan yang besar perlu pemikiran yang lebih. Pada kesempatan ini mari membuat faktorisasi bilangan yang lebih besar. Caranya dengan pohon faktor. Prinsip pohon faktor adalah pembagian bilangan sampai dengan bilangan prima pada ujung-ujungnya.

Perhatikan cara berikut. 

Faktorisasi prima dari 48
48 = 2 x 2 x 2x 2 x 3 = 2⁴ x 3
Faktor prima = 2 dan 3

Faktorisasi prima dari 90
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x5
Faktor prima = 2, 3 dan 5

Faktorisasi prima dari 140
140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² x 5 x 7
Faktor prima = 2, 5 dan 7

Faktorisasi prima dari 240
240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴ x 3 x 5
Faktor prima = 2, 3 dan 5








Menentukan  FPB menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Pilihlah bilangan faktor yang sama dan kalikanlah
3. Pada bilangan faktor yang ada pangkatnya, pilihlah bilangan dengan pangkat terkecil

Contoh:
Tentukan FPB dari 60 dan 36

60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3² 
FPB = 2² x 3 = 12 (pada bilangan 3 dipilih pangkat terkecil yaitu 3)

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan

FPB = 2 x 2 x 3 = 12






Tentukan FPB dari 120 dan 300
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5
300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5² 
FPB = 2² x 3 x 5 = 60 (pada bilangan 2 dan 5 dipilih pangkat terkecil yaitu 2² dan 5)

Cara Kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
FPB = 2² x 3 x 5 = 60





Menentukan  KPK menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Tulislah semua bilangan faktor yang sama
3. Jika ada bilangan faktor yang berpangkat, pilihlah bilangan dengan pangkat terbesar, kemudian kalikanlah


Contoh:
Tentukan KPK dari 30 dan 48
30 = 2 x 3 x 5
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3

KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240 (pada bilangan 2 dipilih pangkat terbesar yaitu 2⁴ )

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
Bagilah sampai selesai, hasilnya 1-1
KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240

Tentukan KPK dari 45, 60, dan 75
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
75 = 3 x 5 x 5 = 3 x 5² 

KPK = 2² x 3² x 5² = 900 (pada bilangan 2, 3, dan 5 dipilih pangkat terbesar)

Cara kedua

KPK = 2² x 3² x 5² = 900







Demikian sedikit penjelasan tentang faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB.
Semoga bermanfaat.


Untuk mempelajari permasalahan dan penyelesaian masalah keseharian menggunakan KPK dan FPB, lanjutkan dengan KLIK di bawah ini.

Penyelesaian Permasalahan tentang KPK dan FPB

Cara Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran

Cara Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran – Sebelumnya kita sama-sama mempelajari tentang cara melukis garis singgung pada lingkaran, Rumus Matematika Dasar juga sudah menjelaskan materi Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran. Khusus untuk materi pada kesempatan ini yang akan dibahas adalah tentang cara menghitung panjang garis singgung pada suatu lingkaran. Agar lebih mudah dan cepat dalam memahaminya, kita langsung saja mempelajarinya dalam contoh soal serta cara menyelesaikannya berikut ini:

Contoh Soal dan Penyelesaiaan Panjang Garis Singgung Lingkaran

Contoh Soal 1:

Hitunglah panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran jika jarak titik tersebut ke pusat lingkaran adalah 10 cm dan jari-jari lingkaran 6 cm!!

Penyelesaian:

Diketahui OT = 10 cm, r = 6 cm, dan garis singgung lingkaran adalah TA. Karena TAO siku-siku di A maka dengan menggunakan dalil phytagoras diperoleh:

TA²= OT² – OA²

TA²= 10² –6²

TA²= 100 – 36

TA²= 64

TA = √64 = 8

Jadi, panjang garis singgung lingkaran tersebut adalah 8cm.

Contoh Soal 2:

Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui jari-jari OR = OQ = 5 cm dan jarak PO = 13 cm. hitunglah panjang tali busur QR!

Penyelesaian:

Perhatikan ΔPRO

PR²= OP² – OR²

PR²= 13² – 5²

PR²= 169 – 25

PR²= 144

PR = √144 = 12

Luas daerah ΔPRO = 1/2 x alas x tinggi

Luas daerah ΔPRO = ½ x 5 x 12

Luas daerah ΔPRO = 30 cm²

Luas daerah layang-layang PQOR = 2 x 30 cm² = 60 cm²

Luas daerah layang-layang PQOR = 1/2 x diagonal x diagonal

60  = 1/2 x OP x QR

60 = 1/2 x 13 x QR

QR = 120/13 = 9,2

Jadi, panjang tali busur QR adalah 9,2 cm

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 2. Solo : Platinum

itulah penjelasan contoh soal mengenai Cara Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran serta langkah-langkah untuk menyelesaikannya semoga bisa membantu kalian unuk lebih memahami materi tentang persamaan garis singgung lingkaran.

Cara Melukis Garis Singgung pada Lingkaran

Cara Melukis Garis Singgung pada Lingkaran - Dalam artikel sebelumnya Rumus Matematika Dasar menjelaskan kepada kalian tentang materi Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran. Untuk pembahasan kali ini yang akan dipelajari adalah tentang bagaimana langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk melukis garis singgung lingkaran. Untuk melukisnya, kalian akan membutuhkan jangka dan penggaris. Tapi sebelumnya kalian harus perhatikan ter;ebih dahulu uraian di bawah ini:

Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Sekarang, coba kalian amati dan perhatikan gambar berikut ini:

Pada gambar tersebut, titik O merupakan pusat lingkaran dan T adalah titik pada lingkaran. Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik T, lakukanlah langkah-langkah di bawah ini:

Pertama:

Hubungkan titik O dan titik T lalu perpanjang ruas garis OT tersebut.

Kedua:

Buatlah busur lingkaran dengan pusat T yang memotong garis di titik A dan B.

Ketiga:

Buatlah busur lingkaran yang berjari-jari sama dengan pusat A dan B. Kedua busur itu akan berpotongan di C dan D.

Keempat:

Hubungkan garis C dan D. garis CD merupakan garis singgung lingkaran pada titik T seperti bisa kalian lihat pada gambar (b) di atas.

Melukis Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan gambar yang ada di bawah ini:

Gambar tersebut merupakan sebuah lingkaran yang memiliki diameter AB dan titik C pada lingkaran. Coba hubungkan titik A, B, dan C sehingga membentuk sebuah segitiga ABC. Sekarang, coba kalian perhatikan gambar yang ada di bawah ini:

Titik ) pada gambar di atas merupakan pusat lingkaran, sedangkan T adalah titik luar dari lingkaran tersebut. Misalkan kita ingin melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik T, maka langkah-langkahnya adalah:

Pertama:

Hubungkan titik O dan T.

Kedua:

Buatlah busur lingkaran yang berjari-jari sama dengan pusat O dan T sehingga saling berpotongan pada titik C dan D.

Ketiga:

Hubungkan C dan D sehingga memotong OT di titik M.

Keempat:

Buatlah lingkaran dengan pusat M dengan jari-jari OM dan MT sehingga memotong lingkarab dengan pusat o pada titik A dan B.

Kelima:

Hubungkan titik T dengan A serta titik T dengan B seperti yang tampak pada gambar (b) di atas.

Pada gambar tersebut AT dan BT merupakan garis singgung lingkaran. Sekarang cobalah kalian amati garis TA dan TB, apakah kedua garis tersebut sama panjang? Untuk menjawabnya simak raian berikut ini:

Perhatikan ∠TAO dan ∠TBO, besar ∠TOA = ∠TOB dan OA = OB. Maka, dengan menggunakan dalil phytagoras kita akan memperoleh:

OT² = OA² + TA² …. (1)

OT² = OB² + TB² …. (2)

Dari kedua persamaan itu diperoleh:

OA² + TA² = OB² + TB²

TA² = OB² + TB² – OA²

TA² = TB² (karena OB =  OA)

TA = TB

Dari uraian tersebut dapat kita simpulkan bahwa sua garis singgung lingkaran yang ditarik dari suatu titik di luar lingkaran adalah sama panjang.

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 2. Solo : Platinum

Demikianlah uraian yang bisa disampaikan pada materi kali ini yaitu mengenai Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran. Perhatikan dengan baik langkah-langkah yang telah diberikan di atas agar kalian tidak melakukan kesalahak ketika mencoba melukiskan garis singgung pada lingkaran. Selamat mencoba!!!

Menentukan Faktor, Faktor Prima, Kelipatan dan Faktor Persekutuan, KPK, dan FPB

Kelipatan
Kelipatan adalah bilangan loncat yang dimulai dari bilangan loncat terkecil (bilangan kelipatan) dengan setiap loncatan sama panjang/jarak/satuannya. 0 tidak termasuk dalam anggota kelipatan.
Contoh:
Bilangan kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .
Bilangan kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, . . .
Bilangan kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, . . .


Faktor
Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Misalnya ada bilangan 10. Faktor dari bilangan 10 adalah bilangan yang membagi habis bilangan 10 tersebut. Faktor dari 10 adalah1, 2, 5, dan 10, sebab bilangan-bilangan tersebut membagi habis 10.
Contoh:

Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

Faktor 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Faktor 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40





Kelipatan Persekutuan
Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatan-kelipatan yang sama dan dimiliki oleh kedua bilangan tersebut. Jika terdapat tiga bilangan, maka kelipatan persekutuan dari ketiga bilangan adalah kelipatan-kelipatan sama yang dimiliki oleh ketiga bilangan tersebut Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh
Tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 5.
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, . . .
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, . . . .
Kelipatan persekutuaan = 15, 30, 45, 60, . . . .

Tentukan kelipatan persekutuan dari 6 dan 8
Kelipatan 6 =6,12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,  78, . . .
Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,. . . .
Kelipatan persekutuan = 24, 48, 72,. . . .


Faktor Persekutuan
Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah faktor-faktor yang dimiliki oleh kedua bilangan tersebut. Jika ada dua bilangan yang masing-masing memiliki faktor-faktornya, maka faktor persekutuan dari dua bilangan tersebut dipilih faktor-faktor yang sama.
Contoh
Tentukan faktor persekutuan dari 24 dan 30
Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Faktor persekutuan 24 dan 30 adalah 1,2, 3, 6

Tentukan faktor persekutuan dari 36 dan 60
Faktor dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Faktor dari 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Faktor persekutuan 36 dan 60 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12

Tentukan faktor persekutuan dari 50, 75 dan 200
Faktor dari 50 = 1, 2, 5, 10, 25, 50
Faktor dari 75 = 1, 3, 5, 15, 25, 75
Faktor dari 200 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, 100, 200
Faktor persekutuan dari 50, 75 dan 200 adalah 1, 5, 25


Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
KPK adalah bilangan kelipatan persekutuan dua atau tiga bilangan yang paling kecil.
Langkah-langkah menentukan KPK dari dua/tiga bilangan.
1. Tulislah kelipatan masing-masing bilangan
2. Tulislah kelipatan-kelipatan persekutuannya.
3. Pilihlah kelipatan yang terkecil. Itulah KPK-nya.

Contoh
Tentukan KPK dari 6 dan 9.
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, . . . .
Kelipatan 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81,. . . .
Kelipatan Persekutuan = 18, 36, 54, 72, . . ..
KPK = 18

Tentukan KPK dari 2, 3, dan 5
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, . . .
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39,. . . .
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, . . . .
Kelipatan persekutuan = 30, 60, 90, . . . .
KPK = 30

Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
KPK adalah bilangan faktor persekutuan dua atau tiga bilangan yang paling besar.
Langkah-langkah menentukan FPB dari dua/tiga bilangan.
1. Tulislah faktor masing-masing bilangan
2. Tulislah faktor-faktor persekutuannya.
3. Pilihlah faktor yang terbesar. Itulah FPB-nya.

Contoh:
Tentukan FPB dari 24 dan 40
Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor dari 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Faktor persekutuan = 1, 2, 4, 8
FPB = 8

Tentukan FPB dari 36 dan 48
Faktor dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Faktor dari 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Faktor persekutuan = 1, 2, 3, 4, 6, 12
FPB = 12


Tentukan FPB dari 30, 45 dan 75
Faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Faktor dari 45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
Faktor dari 75 = 1, 3, 5, 15, 25, 75
Faktor persekutuan = 1, 3, 5
FPB = 5


Untuk mempelajari  Faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB menggunakan cara faktorisasi prima, bukulah link di bawah ini.

Faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB (2)

Materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran SMP Kelas 8

Persamaan Garis Singgung Lingkaran - Di dalam kehidupan sehari-hari tentu kalian sering menjumpai benda-benda yang bentuknya berupa lingkaran dan lingkaran tersebut tepat bersinggungan dengan benda yang lain contohnya adalah katrol dengan tali timba ataupun roda kereta api yang bersinggungan dengan rel. Di dalam postingan kali ini Rumus Matematika Dasar akan mengajak kalian untuk mempelajari garis singgung lingkaran. Garis Singgung Lingkaran merupakan garis-garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik tertentu. Garis singgung lingkaran haruslah tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung.coba perhatikan gambar di bawah ini:

Mengenal Sifat Garis Singgung Lingkaran

Dari gambar di atas dapatkah kalian menentukan mana yang disebut sebagai garis singgung lingkaran? coba kalian amati garis g yang memotong lingkaran pada titik A dan B, lalu perhatikan garis h yang "memotong" lingkaran pada titik C. Garis h tersebutlah yang disebut sebagai garis singgung pada lingkaran yang pusatnya ada di titik O dengan jari-jari r. Titik C yang dilalui garis h disebut sebagai titik singgung.

Perhatikan kembali garis g. Titik potong garis g pada lingkaran ada di titik A dan B yang berpusat di O membentuk segitiga sama kaki sehingga ∠ OAB = ∠ OBA.

Apabila garis g dengan pusat A diputar mendekati titik A sepanjang busur AB yang kecil, maka akan  diperoleh bahwa setiap perpindahan titik B, yaitu B' akan selalu berlaku ∠OAB' = ∠OB'A dan sudut AOB' makin kecil. Pada saat titik B' sampai di titik A, garis g hanya menyinggung lingkaran di titik A dan sudut yang terbentuk antara OA dan garis g adalah 90⁰ atau OA tegak lurus dengan garis g. Pada saat itu garis gmenjadi garis singgung pada lingkaran di titik A.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

a. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik.

b. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik melalui titik singgungnya.

c. Melalui satu titik pada lingkaran, dapat dibuat tepat satu garis singgung.

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 2. Solo : Platinum

Itulah pembahasan awal mengenai Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Untuk materi selanjutnya akan dibahas tentang Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran. Sampai berjumpa lagi di materi pelajaran matematika selanjutnya.

Contoh Soal Matematika Mengenai Relasi dan Cara Penyelesaiannya

Contoh Soal Matematika Mengenai Relasi dan Cara Penyelesaiannya - Sebelumnya Rumus Matematika Dasar sudah memberikan penjelasan materi tentang Pengertian Relasi Matematika , masih ingatkah kalian apa yang dimaksud dengan Relasi? Secara sederhana relasi dapat didefinisikan sebagai suatu pernyataan yang menghubungkan dua buah himpunan. Jadi relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari bersama beberapa contoh soal mengenai Relasi yang dapat kalian simak di bawah ini:

Contoh Soal Matematika Mengenai Relasi dan Penyelesaiannya

Contoh Soal 1:

Pada kegiatan Posyandu yang diadakan dalam dua bulan sekali ada sekumpulan anak balita yaitu Suci, Hasty, Gilang, Fikri, dan Rizky. Selain itu, ada juga ibu-ibu yang terdiri atas Tami, Nengsih, Kinanti, dan Rani. Diketahui bahwa Suci adalah anak dari Tami, Hasty dan Gilang anak dari Nengsih, Fikri dan RIzky anak dari Kinanti.

a. Sebutkan nama relasi yang mungkin dari himpunan anak dan himpunan Ibu.

b. Dari relasi tersebut, adakah ibu yang tidak membawa anak balitanya?

c. Dari relasi tersebut, adakah balita yang tidak bersama ibunya?

Penyelesaian:

a. Relasinya adlah “Anak dari”

b. Ibu yang tidak membawa anak balitanya adalah Rani.

c. Tidak ada balita yang tidak bersama ibunya.

Contoh Soal 2:

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Jika dari himpunan A ke himpunan B dihubungkan dengan relasi “setengah dari” maka tentukanlah anggota himpunan A yang mempunyai kawan pada himpunan B!

Penyelesaian:

Anggota himpunan A yang “setengah dari” anggota himpunan B adalah 1, 2 dan 3 karena 1 setengah dari 2, 2 setengah dari 4, dan 3 setengah dari 6.

Demikianlah sedikit penjelasan materi serta Contoh Soal Matematika Mengenai Relasi dan Cara Penyelesaiannya. Moga-moga dapat membantu kalian untuk lebih memahami materi tentang Relasi yang diajarkan di sekolah. Dan semoga dengan mempelajari materi ini kalian bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi seputar relasi. Selamat belajar!!!