Menghitung Luas Permukaan dan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola

Bangun ruang sisi lengkung adalah bangun-bangun ruang yang mempunyai permukaan sisi melengkung. Beberapa contoh benda yang mempunyai bentuk sisi melengkung antara lain bola sepak, bola pingpong, pipa air, kaleng susu, caping Pak tani, dan tumpeng.


Dalam matematika bentuk-bentuk tersebut dinamakan bola, tabung dan kerucut.
Berikut ini akan disampaikan unsur-unsur, cara menghitung volume, dan menghitung luas permukaan pada bangun ruang sisi lengkung.

1. Tabung
Bentuk tabung seperti benda berikut ini.

Tabung mempunyai 3 sisi, yang terdiri atas 2 sisi berbentuk lingkaran yang kongruen (dinamakan sisi alas dan sisi tutup/atas) dan satu sisi lengkung yang melingkar dinamakan selimut tabung. Dalam Matematika, tabung mempunyai dua rusuk.

 







Rumus volume dan luas permukaan tabung sebagai berikut.
Volume tabung  = Luas alas x tinggi

                        = Pi x r²x t

Luas Permukaan = 2 x Luas alas + Luas Selimut

                       = 2 x Pi x r²  + 2 x Pi x r x t

                       = 2 x Pi x r (r + t)

2. Kerucut

Bentuk kerucut seperti pada gambar benda berikut.

Kerucut mempunyai dua sisi, yaitu sebuah sisi berbentuk lingkaran (sisi alas) dan sebuah sisi melengkung (selimut kerucut).  Dalam Matematika, kerucut hanya mempunyai  satu rusuk.

Rumus volume dan luas permukaan kerucut sebagai berikut
Volume Kerucut  = 1/3 x Luas alas x tinggi

                        = 1/3 x Pi x r²x t

Luas Permukaan = Luas alas + Luas Selimut

                       =  Pi x r²  +  Pi x r x s

                       = Pi x r x (r + s)

s = akar dari (r² + t²)

3. Bola

Bentuk bola dapat dilihat seperti gambar di bawah ini.

Bola memiliki sebuah sisi yang melengkung.

Volume Bola      = 4/3 x Pi x r³ 

Luas Permukaan = 4 x Pi x r²


Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 15 cm. Tentukan volume dan luas permukaannya.
Jawaban:
Menentukan/menghitung volume tabung
Volume = Pi x r²x t
           = 22/7  x 14  x 14 x 15
           = 44 x 14 x 15 
           =  9.240
Menentukan/menghitung luas permukaan tabung
Luas Permukaan = 2 x Pi x r (r + t)
                       = 2 x 22/7  x 14 x (14 + 15)
                       = 2 x 44 x 14 x 29
                       = 35.728
Jadi, volume tabung = 9.240 cm³ dan Luas Permukaannya = 35.728 cm²

 2. Sebuah kerucut mempunyai ukuran jari-jari 10 cm dan tinggi  15 cm. Tentukan volume dan luas permukaannya.

Jawaban :

Volume = 1/3 x Pi x r²x t

           = 1/3 x 3,14 x 10 x 10 x 15

           = 1/3 x 314 x 15

           = 1.570

Luas Permukaan = Pi x r x (r + s)

                       = 3,14 x 10 x (10 + 15)

                       = 31,4 x 25

                       = 785

Jadi, volume kerucut = 1.570 cm³ dan Luas Permukaannya = 785 cm²

3. Diketahui bola dengan ukuran diameter 21 cm.Tentukan volume dan luas permukaan bola. 

Jawaban:

Diketahui diameter = 21 cm, maka jari-jarinya = 21/2
Volume = 4/3 x Pi x r³

 = 4/3 x  22/7  x  21/2  x  21/2  x   21/2

= 4/3 x 22 x  3/2  x  21/2  x  21/2

= 11 x 21 x 21

= 4.851

Luas Permukaan = 4 x Pi x r²

                       = 4 x  22/7 x  21/2  x 21/2

                       = 22 x 3 x 21

                       = 1.386

Jadi, volume bola = 4.851 cm³ dan Luas Permukaannya = 1.386 cm²

4. Perhatikan gambar berikut.

 


Tentukan volume dan luas permukaan.
Jawaban:
Diketahui diameter tabung = diameter bola = 20 cm. Maka jari-jarinya = 20/2 = 10 cm
Volume bangun
= Volume tabung + volume setengah bola
= Pi x r²x t + 1/2  x 4/3 x Pi x r³
= 3,14 x 10 x 10 x 14  +  2/3 x 3,14 x 10 x 10 x 10
= 314 x 14 +  2/3 x 3.140
=  4.396 + 2.093,33
=  6.489,33

Luas Permukaan bangun
= Luas alas + Luas selimut tabung + Luas setengah bola
= Pi x r² + 2 x Pi x r x t  +  1/2 x 4 x Pi x r²
= Pi x r x (r + 2t + 2r)

=  Pi x r x (3r + 2t)

= 3,14 x 10 x (30 + 28)

= 3,14 x 10 x 58

=  1.821,2

Jadi, volume bangun = 6.489,33 cm³ dan Luas Permukaannya = 1.821,2 cm²
Demikian cara menentukan violume dan luas permukaan bangun ruang.

Untuk mempelajari volume dan luas permukaan Bangun ruang sisi datar, kunjungi link di bawah ini.
Volume dan Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Datar 

Teorema dan Rumus Pythagoras Pada Segitiga Siku-Siku dan Penerapannya

Teorema Pythagoras

Dalam segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras: ”kuadrat sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya”.

Perhatikan segitiga ABC di bawah ini.

  

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku a² = b² + c²

Kebalikan teorema Pythagoras:

Jika dalam segitiga siku-siku ABC yang mempunyai sisi a, b, dan c, berlaku a² = b² + c².

Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga siku-siku Khusus

Segitiga khusus di sini adalah segitiga siku-siku yang memiliki sudut lain 30^o, 60^o dan 45^o.

Perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut dapat dilihat pada gambar berikut.

Untuk memperjelas tentang Pythagoras, pelajari beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Berikut ini ukuran sisi dari empat buah segitiga:

I.       3 cm, 4 cm, 5 cm

II.      7 cm, 8 cm, 9 cm

III.    5 cm, 12 cm, 15 cm

IV.    7 cm, 24 cm, 25 cm

Yang merupakan ukuran segitiga siku-siku adalah . . . .

A.     I dan II                                     C.     II dan III         

B.      I dan III                                    D.     I dan IV

(Ujian Nasional 2008/2009)

Jawaban: D

Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku memenuhi Tripel Pythagoras.

Oleh karena 5² = 4² + 3² dan 25² = 24² + 7²  maka I dan IV merupakan ukuran segitiga siku-siku.

Jadi, pilihan yang benar D.

Contoh 2

Perhatikan gambar berikut. 

Panjang AC adalah . . . .

A. 24 cm

B. 28 cm

C. 30 cm

D. 32 cm

(Ujian Nasional 2009/2010)

Jawaban: B

Rumus Pythagoras

AB²+ AC² = BC²

AC²= BC² – AB²

AC²= 35² – 21²

AC²= 1,.225 – 441

AC²= 784

AC = 28

Jadi, panjang AC = 28 cm.

Contoh 3

Perhatikan gambar di samping. 

Panjang BC adalah . . . .

A. 3 cm

B. 6 cm

C. 8 cm

D. 9 cm

(Ujian Nasional 2009/2010)

Jawaban: D

Rumus Pythagoras

AC²+ BC² = AB²

BC² = AB² – AC²

BC² = 15² – 12²

BC² = 225 – 144

BC² = 81

BC = 9

Jadi, panjang BC = 9 cm.

Contoh 4

Perhatikan gambar bangun di bawah. 

Keliling bangun tersebut . . . cm.

A. 18

B. 24

C. 28

D. 30

(Ujian Nasional 2008/2009)

Jawaban : B

Perhatikan gambar di samping

Panjang DE = EC

Segitiga DEF siku-siku di F

Rumus Pythagoras pada segitiga DEF.

DE²  = DF² + FE²

DE² = 3² + 4²

DE² = 9 + 16

DE² = 25

DE = 5 cm

Keliling bangun

K_Bangun   = AB + BC + CE + ED + AD

                 = 6 + 4 + 5 + 5 + 4

                 = 24

Jadi, keliling bangun adalah 24 cm.

Perbandingan : Skala Pada Peta, Denah, dan Maket

Skala merupakan perbandingan antara ukuran pada peta, denah atau gambar dengan ukuran sebenarnya. Jika panjang/jarak tertentu pada peta adalah a dan jarak sebenarnya adalah b, maka perbandingan a dengan b ditulis a : b. Sedemikian hingga a : b dapat disederhanakan menjadi 1 : p. Bentuk 1 : p dinamakan skala. Contoh penulisan skala.
Skala peta 1 : 2.000, artinya setiap panjang 1 cm pada peta mewakili jarak sebenarnya 2.000 cm.
Skala peta 1 : 15.000, artinya setiap panjang 1 cm pada peta mewakili jarak sebenarnya 15.000 cm.

Secara umum skala dirumuskan dengan:
Skala = Ukuran pada Peta : Ukuran sebenarnya (ditulis dalam perbandingan 1 : p)

Menentukan ukuran sebenarnya yang diketahui skala 1 : p dan ukuran pada peta.
Ukuran sebenarnya = p x ukuran pada peta

Menentukan ukuran pada peta yang diketahui skala dan ukuran sebenarnya.
Ukuran pada peta = 1/p  x  ukuran sebenarnya.

Contoh 1

Pada  sebuah peta mempunyai skala 1 : 500.000. Jika jarak antara dua kota  pada peta 25 cm, jarak sesungguhnya kedua kota tersebut adalah. . . km.
A.    5
B.    125
C.    525
D.    1.250

Jawaban: B
Jarak sebenarnya    = 25 × 500.000
                              = 12.500.000 cm
                              = 125 km
Jadi, jarak sebenarnya kedua kota adalah 125 km.

Contoh 2
Sebuah denah mempunyai skala 1 : .5.000. Jika jarak antara skolah dan kantor pos adalah 2 km, tentukan ukuran jarak kedua tempat tersebut pada denah.
A. 2,5 cm
B. 4 cm
C. 25 cm
D. 40 cm

Jawaban: D
Jarak kedua tempat pada denah
= 1/5.000  x  2 km
= 1/5.000  x 200.000 cm
= 40 cm
Jadi, jarak kedua tempat pada denah adalah 40 cm.


Contoh 3
Sebuah pesawat angkatan udara akan dibuat dengan ukuran tertentu. Panjang sayap pesawat sebenarnya 50 meter akan dibuat maket dengan panjang sayap 40 cm. Skala maket yang akan dibuat adalah . . . .
A. 1 : 80
B. 1 : 125
C.  1 : .1200
D.  1 : 2.500

Jawaban: B
Skala = ukuran pada maket : ukuran sebenarnya
         =  40 cm : 50 m
         =  40 cm : 5.000 cm
         =  40  : 5.000
         =  1 : 125
Jadi, skala maket adalah 1 : 125


Contoh 4
Denak pekarangan Pak Soni berbentuk persegi panjang dengan skala 1 : 750. Jika dalam denah tersebut panjang dan lebar berukuran berturut-turut 12 cm dan 4 cm, luas pekarangan sebenarnya adalah  . . . .
A. 1.800
B. 2.100
C.  2.700
D. 3.600

Jawaban: C
Skala = 1 : 75
Artinya setiap jarak 1 cm pada peta mewakili 750 cm (7,5 meter)
Menentukan panjang dan lebar sebenarnya.
Panjang (12 cm) = 12 x 7,5 m = 90 meter
Lebar (4 cm) = 4 x 7,5m = 30 meter
Menentukan luas pekarangan sebenarnya
L = p x l
    = 90 x 30
    = 2.700
Jadi, luas sebenaarnya adalah 2.700 meer persegi.

Operasi Perkalian pada Bentuk Aljabar

Pada artikel Rumus Matematika Dasar sebelumnya kita telah mempelajari bersama mengenai operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar. Maka kali ini kita beranjak pada bentuk operasi perhitungan yang lain yaitu tentang perkalian pada bentuk aljabar. Pada kelas VII kalian pasti sudah mempelajari mengenai perkalian bentuk aljabar. Masihkah kalian mengingatnya? Pada pembahasan kali ini, akan dijelaskan perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar suku dua.

Perkalian pada aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Perkalian Suatu Bilangan dengan Bentuk Aljabar Suku Dua

Apabila bx + c adalah bentuk umum suku dua dengan b ≠ 0, perkalian bilangan adengan bx + c akan menjadi seperti berikut ini:

a(bx + c) = abx + ac

Agar lebih mudah dalam memahaminya, sekarang kita langsung mempelajari cara menyelesaikan contoh soal mengenai perkalian aljabar berikut ini:

Contoh Soal 1:

Jabarkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini:

a. 2(x + 1)

b. 3(-4p – 5)

c. -4(-2x – 1) – 3(x – 2)

Penyelesaian:

a. 2(x + 1) = 2x + 2

b. 3(-4p – 5) = -12p - 15

c. -4(-2x – 1) – 3(x – 2) = 8x + 4 – 3x + 6

                                         = (8 – 3)x + 4 + 6

                                         = 5x + 10

Kita bisa memeriksa persamaan di atas benar atau salah dengan cara mengganti variabel x pada ruas kiri ataupun kanan dengan menggunakan sembarang nilai. Jika hasil perhitungan ruas kiri dan kanan sa,a, maka kesamaan tersebut bisa dikatakan benar. Contohnya:

2(x + 1) = 2x + 2 kita gunakan x = 0

2 (0 +1) = 2(0) + 2

2 (1) = 2

Ternyata hasil di ruas kiri dan kanan sama-sama 2, artinya kesamaan tersebut benar.

Contoh Soal 2:

Sebuah persegi panjang, panjang sisi-sisinya 5 cm dan (2p +2) cm. tentukanlah luas dari persegi panjang tersebut!

Penyelesaian:

Jika luas persegi panjang disebut L,

L = 5 x (2p + 2) = (5 x 2p) + (5 x 2) = 10p + 10

Maka, luas dari persegi panjang tersebut adalah (10p + 10) cm²

Itulah penjelasan yang amat sederhana tentang perkalian pada bentuk aljabar. Untuk materi selanjutnya akan dibahas tentang Perkalian Suku Dua pada Bentuk Aljabar.