Faktor, Kelipatan, Faktor Prima, Faktorisasi Prima, KPK dan FPB (2)

Dalam kesempatan ini kita akan membahas dan belajar tentang Faktor prima, faktorisasi prima, Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan Faktor persekutuan terbesar (FPB) menggunakan faktorisasi prima.

 
Faktorisasi Prima dan Faktor Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Bilangan prima = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .

Faktorisasi prima adalah penjabaran suatu bilangan menjadi perkalian-perkalian bilangan prima. Jadi, dengan perkalian beberapa bilangan prima diperoleh hasil boilangan itu.

Contoh 

6 = 2 x 3          (2 dan 3 adalah bilangan prima)

20 = 2 x 2 x 5  (2 dan 5 adalah bilangan prima)

45 = 3 x 3 x 5  (3 dan 5 adalah bilangan prima)

70 = 2 x 5 x 7  (2, 5, dan 7 adalah bilangan prima)

Bentuk bentuk di atas merupakan contoh faktorisasi prima dari suatu bilangan.

Faktor Prima adalah bilangan-bilangan prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
Misalkan pada faktorisasi prima di atas.
6 memiliki faktor prima 2 dan 3 .
20 memiliki faktor prima 2 dan 5.
45 memiliki faktor prima 3 dan 5.
70 memiliki faktor prima 2, 3, dan 5.

Untuk bilangan-bilangan yang kecil, mungkin mudah untuk membuat faktorisasi prima. Namun untuk bilangan yang besar perlu pemikiran yang lebih. Pada kesempatan ini mari membuat faktorisasi bilangan yang lebih besar. Caranya dengan pohon faktor. Prinsip pohon faktor adalah pembagian bilangan sampai dengan bilangan prima pada ujung-ujungnya.

Perhatikan cara berikut. 

Faktorisasi prima dari 48
48 = 2 x 2 x 2x 2 x 3 = 2⁴ x 3
Faktor prima = 2 dan 3

Faktorisasi prima dari 90
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x5
Faktor prima = 2, 3 dan 5

Faktorisasi prima dari 140
140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² x 5 x 7
Faktor prima = 2, 5 dan 7

Faktorisasi prima dari 240
240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴ x 3 x 5
Faktor prima = 2, 3 dan 5








Menentukan  FPB menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Pilihlah bilangan faktor yang sama dan kalikanlah
3. Pada bilangan faktor yang ada pangkatnya, pilihlah bilangan dengan pangkat terkecil

Contoh:
Tentukan FPB dari 60 dan 36

60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3² 
FPB = 2² x 3 = 12 (pada bilangan 3 dipilih pangkat terkecil yaitu 3)

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan

FPB = 2 x 2 x 3 = 12






Tentukan FPB dari 120 dan 300
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5
300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5² 
FPB = 2² x 3 x 5 = 60 (pada bilangan 2 dan 5 dipilih pangkat terkecil yaitu 2² dan 5)

Cara Kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
FPB = 2² x 3 x 5 = 60





Menentukan  KPK menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Tulislah semua bilangan faktor yang sama
3. Jika ada bilangan faktor yang berpangkat, pilihlah bilangan dengan pangkat terbesar, kemudian kalikanlah


Contoh:
Tentukan KPK dari 30 dan 48
30 = 2 x 3 x 5
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3

KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240 (pada bilangan 2 dipilih pangkat terbesar yaitu 2⁴ )

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
Bagilah sampai selesai, hasilnya 1-1
KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240

Tentukan KPK dari 45, 60, dan 75
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
75 = 3 x 5 x 5 = 3 x 5² 

KPK = 2² x 3² x 5² = 900 (pada bilangan 2, 3, dan 5 dipilih pangkat terbesar)

Cara kedua

KPK = 2² x 3² x 5² = 900







Demikian sedikit penjelasan tentang faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB.
Semoga bermanfaat.


Untuk mempelajari permasalahan dan penyelesaian masalah keseharian menggunakan KPK dan FPB, lanjutkan dengan KLIK di bawah ini.

Penyelesaian Permasalahan tentang KPK dan FPB

Perkalian dengan 9 dan Kelipatannya dengan Hasil Bilangan Unik

Perkalian Unik dengan Bilangan Kelipatan 9 

Angka 9 dan kelipatannya memang mempunyai banyak keunikan apabila dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan lain. Sebagai misal, angka 9 dan kelipatannya apabila dikalikan dengan sembarang bilangan jumlahandigit-digit hasinya juga merpakan kelipatan 9.

Contoh :

9 x 3.895 = 35.055 (3 + 5 + 0 + 5 + 5 = 18, 18 kelipatan 9)

27 x 487 = 13.149 (1 + 3 + 1 + 4 + 9 = 18, 18 kelipatan 9)

63 x 1.398 = 88.074 (8 + 8 + 0 + 7 + 4 = 27, 27 kelipatan 9)

Ada keunikan lain yang berkaitan dengan bilangan kelipatan 9 apabila dikalikan dengan bilangan yang urut angkanya, misalkan bilangan 12345679. Kita akan mengalikan bilangan 12345679 dengan bilangan-bilangan kelipatan 9 kurang dari 100. Perhatikan hasil-hasil bilanganyang unik berikut.

12345679 x  9  = 111.111.111

12345679 x 18 = 222.222.222

12345679 x 27 = 333.333.333

12345679 x 36 = 444.444.444

12345679 x 45 = 555.555.555

12345679 x 54 = 666.666.666

12345679 x 63 = 777.777.777

12345679 x 72 = 888.888.888

12345679 x 81 = 999.999.999

Sekarang perhatikan lagi keistimewaan lain dari angka 9 dan kelipatannya. Dengan membuat hasil kali bilangan 123456789 dengan sembilan bilangan asli kelipatan 9 yang pertama akan diperoleh hasil kali yang unik juga. Perhatikan bilangan-bilangan berikut.

123456789 x  9  = 1.111.111.101

123456789 x 18 = 2.222.222.202

123456789 x 27 = 3.333.333.303

123456789 x 36 = 4.444.444.404

123456789 x 45 = 5.555.555.505

123456789 x 54 = 6.666.666.606

123456789 x 63 = 7.777.777.707

123456789 x 72 = 8.888.888.808.

123456789 x 81 = 9.999.999.909

Bagaimana, unik Bukan?

Nah, sekarang bagaimana apabila bilangan 123456789 kita balik urutannya menjadi 987654321? Apakah hasilnya merupakan bilangan-bilangan yang unik juga? Ayo, perhatikan lagi hasil perkalian berikut.

987654321 x   9 = 08.888.888.889

987654321 x 18 = 17.777.777.778

987654321 x 27 = 26.666.666.667

987654321 x 36 = 35.555.555.556

987654321 x 45 = 44.444.444.445

987654321 x 54 = 53.333.333.334

987654321 x 63 = 62.222.222.223

987654321 x 72 = 71.111.111.112

987654321 x 81 = 80.000.000.001

Woww.. Keren sekali pola angka-angkanya?

Inilah keunikan-keunikan bilangan/angka 9 dan kelipatannya apabila dikalikan dengan suatu bilangan yang hasilnya juga merupakan bilangan yang unik juga.

Bagaimana dengan Anda, adakah keunikan-keunikan bilangan yang Anda punyai?