Konsep Logaritma
Logaritma merupakan bentuk kebalikan dari pangkat. Jika 32 = 9 maka 3log 9 = 2. Jika bentuk 25 = 32 maka 2log 32 = 5. Dari contoh diatas kitadapat mengetahui hal-hal berikut.
Jika 3n = 9 maka nilai n = 2 dan Jika 2m = 32 maka nilai m = 5.
Nah, bagaimana jika terdapat bentuk seperti ini.
Jika 5m = 12, tentukan nilai m
Jika 3n = 10, tentukan nilai n.
Ternyata tidak ada bilangan bulat pengganti m dan n pada permasalahan di atas bukan?
Untuk menyelesaikannya, maka digunakan konsep logaritma.
Dari kedua soal di atas, maka diperoleh nilai m dan n sebagai berikut.
Jika 5m = 12, maka nilai m = 5log 12
Jika 3n = 10, maka nilai n = 3log 10
Dengan permasalahan inilah maka muncul materi tentang logaritma.
ac = b maka alog b = c
Bentuk umum logarima adalah adengan alog b disebut dengan basis (a > 0 dan b tidak sama dengan 0), dengan a disebut bilangan pokok, b disebut dengan numerus, dan c disebut dengan hasil logaritma. Khusus untuk logaritma dengan basis 10, basisnya tidak dituliskan, cukup dengan menggunakan log.
Contoh:
10log 25 cukup ditulis log 25
10log 120 cukup ditulis log 120
Sifat-Sifat Logaritma
Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, berlaku:
plog a = n maka pn = a
dengan a > 0, p > 0, dan p ¹ 1
Sifat-sifat logaritma
1. alogb = log b / log a
2. aloga = 1
3. ploga · alogq = plogq
5. plog (ab) = plog a + plog b
6. plog (a/b) = plog a – plog b
7. alog an = n
8. ploga1 = 0
9. plog an = n · plog a
10. pnlog am = m/n · plog a
11. ploga = pnlog an
12. p plog a = a
Selanjutnya mari melakukan operasi hitung tantang logaritma berikut ini.
Contoh 1
Tentukan hasil dari:
a. 2log 16
b. 3log 81
c. 5log 625
d. 2log 0,125
e. 5log 0,0016
Jawaban:
a. 2log 16 = 2log 24 = 4 2log 2 = 4
b. 3log 81 = 3log 34 = 4 3log 3 = 4
c. 5log 625 = 5log 53 = 3 5log 5 = 3
d. 2log 0,125 = 2log (1/8) = 2log 2-3 = -3 2log 2 = -3
e. 5log 0,0016 = 5log (1/625) = 5log 54 = 4 5log 5 = 4
Contoh 2
Tentukan hasil dari:
a. 2log 20 – 2log 5
b. 3log 12 + 3log 45 – 3log 20
c. 5log 30 + 5log 75 – 5log 18
d. 2log 3 . 3log 60 + 2log 24 – 2log 15
e. 5log 75 + 5log 4. 4log 20 – 5log 12
Jawaban:
a. 2log 20 – 2log 5 = 2log (20/5)
= 2log 4 = 2log 22 = 2 . 2log 2 = 2
b. 3log 12 + 3log 45 – 3log 20 = 3log (12 x 45 / 20)
= 3log 27 = 3log 33= 3 3log 3 = 3
c. 5log 30 + 5log 75 – 5log 18 = 5log (30 x 75 / 18)
= 5log 125 = 5log 53 = 3 5log 5 = 3
d. 2log 3 . 3log 60 + 2log 24 – 2log 15
= 2log 60 + 2log 24 – 2log 45
= 2log (60 x 24 / 45)
= 2log 32 = 2log 25 = 5 2log 2 = 5
e. 5log 75 + 5log 4. 4log 20 – 5log 12
= 5log 75 + 5log 20 – 5log 12
= 5log (75 x 20 / 12)
= 5log 125
= 5log 53 = 3 5log 5 = 3
Contoh 3
Diketahui 2log 3 = a, 2log 5 = b, 2log 7 = c. Tentukan hasil dari:
a. 2log 30
b. 2log 70
c. 3log 18
d. 3log 120
e. 5log 180
Jawaban:
Dari keterangan di atas diperoleh nilai yang lain sebagai berikut.
2log 3 = a, maka 3log 2 = 1/a
2log 5 = b, maka 5log 2 = 1/b
2log 7 = c, maka 7log 2 = 1/c
3log 5 = b/a
5log 7 = c/b
3log 7 = c/a
a. 2log 30 = 2log (2 x 3 x 5)
= 2log 2 + 2log 3 + 2log 5
= 1 + a + b
b. 2log 70 = 2log (2 x 5 x 7)
= 2log 2 + 2log 5 + 2log 7
= 1 + b + c
c. 3log 18 = 3log (2 x 3 x 3)
= 3log 2 + 3log 3 + 3log 3
= 1/a + 1 + 1
= 2 + 1/a
d. 3log 120 = 3log (23 x 3 x 5)
= 3log 23+ 3log 3 + 3log 5
= 3 3log 2 + 1 + (2log 5 / 2log 3)
= 3 1/a + 1 + b/a
= 3/a + 1 + b/a
= 1/a (3 + a + b)
e. 5log 180 = 5log ( 22 x 32 x 5)
= 5log 22 + 5log 32 + 5log 5
= 2 5log 2 + 2 5log 3 + 5log 5
= 2 . 1/b + 2 . a/b + 1
= 2/b + 2a/b + 1
Persamaan Logaritma
Jika kita mempunyai fungsi f(x) sedemikian hingga dalam logaritma mempunyai numerus suatu fungsi f(x) maka persamaan logaritma dapat dituliskan sebagai berikut.
alog f(x) = c
dengan a > 0 dan f(x) > 0
Beberapa sifat logaritma yang digunakanuntuk menyelesaikan persamaan logaritma.
1. Jika alog f(x) = alog c, maka f(x) = c
2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x)>0 dan g(x)>0
Perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 4
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
a. 2log (2x + 3) = 2log 9
b. 3log (x2 + 3x - 2) = 3log 8
c. 2log (5x - 2) = 4
d. 3log (x2 + x - 3) = 2
Jawaban:
a. 2log (2x + 3) = 2log 9
2x + 3 = 9
2x = 9 – 3
2x = 6
x = 3
b. 3log (x2 + 3x – 2) = 3log 8
x2 + 3x – 2 = 8
x2 + 3x – 10 = 0
(x – 2)(x + 5) = 0
x = 2 atau x = -5
c. 2log (5x – 2) = 4
2log (5x – 4) = 2log 42
2log (5x – 4) = 2log 16
5x – 4 = 16
5x = 16 + 4
5x = 20
x = 20/5 = 4
d. 3log (x2 + x – 3) = 2
3log (x2 + x – 3) = 3log 32
3log (x2 + x – 3) = 3log 9
3log (x2 + x – 3) = 3log 9
x2 + x – 3 = 9
x2+ x – 12 = 0
(x + 4)(x – 3) = 0
x = –4 atau x = 3
Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
a. 2log (2x + 3) = 2log (x + 5)
b. 3log (x2 – 3x - 2) = 3log (2x – 4)
c. 5log (2x2 + 6x - 5) = 5log (x2 + x + 1)
Jawaban:
a. 2log (2x + 3) = 2log (x + 5)
2x + 3 = x + 5
2x – x = 5 – 3
x = 2
Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = 2 pada kedua fungsi.
f(x) = 2x + 3, maka f(2) = 2(2) + 3 = 7 > 0 (terpenuhi)
g(x) = x + 5, maka g(2) = 2 + 5 = 7 > 0 (terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2
b. 3log (x2 – 3x + 2) = 3log (2x + 8)
x2 – 3x + 2 = 2x + 8
x2 – 5x – 6 = 0
(x + 1)(x – 6) = 0
x = -1 atau x = 6
Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -1 dan x = 6 pada kedua fungsi.
Untuk x = -1
f(x) = x2 – 3x + 2, maka f(-1) = (-1)2 – 3(-1) + 2 = 6 > 0 (terpenuhi)
g(x) = 2x + 8, maka g(-1) = 2(-1) + 8 = 6 > 0 (terpenuhi)
Untuk x = 6
f(x) = x2 – 3x + 2, maka f(6) = (6)2 – 3(6) + 2 = 20 > 0 (terpenuhi)
g(x) = 2x + 8, maka g(6) = 2(6) + 8 = 20 > 0 (terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = -1 atau x = 6.
c. 5log (2x2 + 6x - 5) = 5log (x2 + x + 1)
2x2 + 6x - 5 = x2+ x + 1
x2 + 5x - 6 = 0
(x + 6)(x - 1) = 0
x = -6 atau x = 1
Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -6 atau x = 1 pada kedua fungsi.
Untuk x = -6
f(x) = 2x2 + 6x - 5, maka f(-6) = 2(-6)2+ 6(-6) – 5 = 31 > 0 (terpenuhi)
g(x) = x2 + x + 1, maka g(-6) = (-6)2 + (-6) + 1 = 31 > 0 (terpenuhi)
Untuk x = 1
f(x) = 2x2 + 6x - 5, maka f(1) = 2(1)2 + 6(1) – 5 = 3 > 0 (terpenuhi)
g(x) = x2 + x + 1, maka g(1) = 12 + 1 + 1 = 3 > 0 (terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6 atau x = 1.
Demikianlah sedikit penjelasan tentang logaritma dan penyelesaian persamaan logaritma.
Semoga bermanfaat.