Akar-akar Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan Kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a tidak sama dengan 0.
Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
1. Memfaktorkan,
ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi (ax + p)(ax + q)/a, dengan p + q = b dan pq = ac. Sehinga diperoleh x1 = -p/2 dan x2 =-q/2 .
2. Melengkapkan kuadrat, bentuk persamaan kuadrat diubah ke bentuk (x + p)2 = q.
3. Menggunakan rumus abc.
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar dari persamaan Kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai berbagai jenis dipandang dari nilai Diskriminan (D = b2 – 4ac).
(i) D > 0, mempunyai akar real.(ii) D = 0, mempunyai akar kembar real.
(iii) D < 0, tidak mempunyai akar real.
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 maka diperoleh:
Jika x1 + x2 = -b/a dan x1 x2 = c/a.
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Misalkan x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jika p dan q merupakan akar-akar yang baru dalam x1dan x2, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 - (p + q)x + pq = 0.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
1. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x + 8 = 0. Tentukan nilai dari pq2 + p2q.
Jawaban:
Persamaan kuadrat x2 + 5x + 8 = 0, mempunyai a = 1, b = 5 dan c = 8. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -5/1 = 5
pq = c/a = 8/1 = 8
Dengan demikian:
pq2 + p2q = pq (q + p)
= (8)(5)
= 40
Jadi, nilai pq2 + p2q = 40.
2. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + 6 = 0. Tentukan nilai dari 2p2 + 2q2.
Jawaban:
Persamaan kuadrat x2 - 3x + 6 = 0, mempunyai a = 1, b = -3 dan c = 6. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -(-3)/1 =3
pq = c/a = 6/1 =6
Dengan demikian:
2p2 + 2q2 = 2{(p + q)2 - 2pq}
= 2{(32) - 2(6)}
= 2{9 - 12}
= 2(-3)
=-6
Jadi, nilai 2p2 + 2q2 = -6.
3. Jika persamaan kuadrat 2x2 - 8x + 2m + 1= 0 mempunyai akar-akar kembar,Tentukan nilai m.
Jawaban:
Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar kembar adalah nilai diskriminan sama dengan 0 (D = 0).
b2 - 4ac = 0
82 - 4. 2. (2m + 1) = 0
64 - 16m - 8 = 0
16m = 56
m = 7/2
Jadi, nilai m = 7/2.
4. Jika persamaan kuadrat x2 - px + 3p - 8 = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan,tentukan nilai batas-batas nilai p.
Jawaban:
Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real dan berlainan adalah nilai diskriminan lebih dari 0(D > 0).
b2 - 4ac > 0
p2 - 4. 1. (3p - 8) > 0
p2 - 12p + 32 > 0
(p - 4)(p - 8) > 0
p < 4 atau p > 8
Jadi, batasan nilai p adalah p < 4 atau p > 8.
5. Jika persamaan kuadrat x2 - 5x + 12 = 0 mempunyai akar-akar p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar 2p + 1)dan (2q + 1)
Jawaban:
Persamaan kuadrat x2 - 5x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -5 dan c = 12.
Akar-akar persamaannya p dan q.
p + q = -b/a = -(-5)/1 = 5
pq = c/a = 12/1 = 12
Menentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar (2p + 1) dn (2q + 1)
(2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2= 2(5) + 2 = 12
(2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1
= 4pq + 2(p + q) + 1
= 4(12) + 2(5) + 1
= 48 + 10 + 1
= 59
Persamaan kuadrat baru:
x2 -((2p+1)+(2q+1))x + (2p+1)(2q+1) = 0
x2 - 12x + 59 = 0
Jadi, persamaan kudrat baru adalah x2 - 12x + 59 = 0.
Jawaban:
Persamaan kuadrat x2 + 5x + 8 = 0, mempunyai a = 1, b = 5 dan c = 8. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -5/1 = 5
pq = c/a = 8/1 = 8
Dengan demikian:
pq2 + p2q = pq (q + p)
= (8)(5)
= 40
Jadi, nilai pq2 + p2q = 40.
2. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + 6 = 0. Tentukan nilai dari 2p2 + 2q2.
Jawaban:
Persamaan kuadrat x2 - 3x + 6 = 0, mempunyai a = 1, b = -3 dan c = 6. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -(-3)/1 =3
pq = c/a = 6/1 =6
Dengan demikian:
2p2 + 2q2 = 2{(p + q)2 - 2pq}
= 2{(32) - 2(6)}
= 2{9 - 12}
= 2(-3)
=-6
Jadi, nilai 2p2 + 2q2 = -6.
3. Jika persamaan kuadrat 2x2 - 8x + 2m + 1= 0 mempunyai akar-akar kembar,Tentukan nilai m.
Jawaban:
Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar kembar adalah nilai diskriminan sama dengan 0 (D = 0).
b2 - 4ac = 0
82 - 4. 2. (2m + 1) = 0
64 - 16m - 8 = 0
16m = 56
m = 7/2
Jadi, nilai m = 7/2.
4. Jika persamaan kuadrat x2 - px + 3p - 8 = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan,tentukan nilai batas-batas nilai p.
Jawaban:
Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real dan berlainan adalah nilai diskriminan lebih dari 0(D > 0).
b2 - 4ac > 0
p2 - 4. 1. (3p - 8) > 0
p2 - 12p + 32 > 0
(p - 4)(p - 8) > 0
p < 4 atau p > 8
Jadi, batasan nilai p adalah p < 4 atau p > 8.
5. Jika persamaan kuadrat x2 - 5x + 12 = 0 mempunyai akar-akar p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar 2p + 1)dan (2q + 1)
Jawaban:
Persamaan kuadrat x2 - 5x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -5 dan c = 12.
Akar-akar persamaannya p dan q.
p + q = -b/a = -(-5)/1 = 5
pq = c/a = 12/1 = 12
Menentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar (2p + 1) dn (2q + 1)
(2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2= 2(5) + 2 = 12
(2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1
= 4pq + 2(p + q) + 1
= 4(12) + 2(5) + 1
= 48 + 10 + 1
= 59
Persamaan kuadrat baru:
x2 -((2p+1)+(2q+1))x + (2p+1)(2q+1) = 0
x2 - 12x + 59 = 0
Jadi, persamaan kudrat baru adalah x2 - 12x + 59 = 0.
