Menentukan Volume dan Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Datar (Kubus, Balok, Prisma dan Limas)

Pada Kesempatan ini akan saya berikan mteri tentang bangun ruang yang berkaitan dengan volume, luas permukaan dan unsur-unsur di dalamnya.

Dalam kesempatan ini akan membahas antara lain volume dan luas permukaan kubus, balok, prisma, dan limas, serta gabungan dari bangun-bangun terseebut.

Ini adalah materi pelajaran SMP. Perlu diingat bahwa langkah penyelesaian dalam materi ini kadang-kadang menggunakan konsep Rumus Pythagoras juga. Sebab dengan konsep itu maka unur-unsur seperti rusuk dapat ditentukan panjangnya.

Satu hal lagi yang kamu perhatikan adalah penguasaan rumus-rumus dasar bangun ruang (Volume dan luas permukaan) harus benar-benar anda hafal diluar kepala.

Perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Sebuah balok berukuran panjang 12 cm, lebar 9 cm, dan tinggi 8 cm. 

 Tentukan:

a. Volume balok

b. Luas permukaan balok

c. Panjang diagonal ruang

Jawaban :

Diketahui p = 12 cm, l = 9 cm, dan t = 8 cm.

a. Volume = p x l x t

                = 12 x 9 x 8

                = 864

   Jadi, volume balok adalah 864 cm kubik.

b. Luas Permukaan = 2 (pl + lt + pt)

                             = 2 x (12 . 9 + 9 . 8 + 12 . 8)

                             = 2 x (108 + 72 + 96)

                             = 2 x 276

                             = 552

  Jadi, luas permukaannya adalah 552 cm persegi.

c. Diagonal ruang   

 

 Jadi, Panjang diagonal ruang balok adalah 17 cm.

2. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 12 cm. 

 

 Tentukan volume, luas permukaan, panjang diagonal ruang, dan luas bidang diagonal.

Jawaban :

 Volume = s x s x s

             = 12 x 12 x 12

             = 1.728

 Jadi, volume kubus adalah 1.728 cm kubik.

Luas permukan = 6 x s x s

                       = 6 x 12 x 12

                       = 864

Jadi, luas permukaan kubus adalah 864 cm persegi

Panjang diagonal ruang (CE) = 12V3 cm   (V = simbol akar)

Luas bidang diagonal (ABGH) = s x sV2

                                            = 12 x 12V2

                                            = 144V2 cm persegi

3. Perhatikan prisma segitiga berikut.

  Tentukan volume dan luas permukaan prisma segitiga tersebut.

Jawaban :

Luas permukaan = 2 x Luas alas + Luas selimut

Luas alas = 1/2 x  AB x BC

              = 1/2 x 6 x 8 

              = 24 cm2

Luas Selimut = Keliling alas x tinggi

                    = (AB + BC + A) x AD

                    = (6 + 8 + 10) x 8

                    = 24 x 8

                    = 192 cm2

Jadi diperoleh luas permukaan prisma sebagai berikut   

L  = (2 x 24) + 192

    = 48 + 192

    = 240 cm2

Volume = Luas alas x tinggi

            = 24 x 8

            = 192 cm3 

4. Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.

 Tentukan  Volume dan luas permukaan limas tersebut.

Jawaban :

Volume = 1/3 x Luasalas x Tinggi

            = 1/3 x (AB x BC) x OT

            = 1/3 x 10 x 10 x 12

            = 400 cm3

Luas Permukaan = Luas alas + Luas selimut

                         = 400 + (4 x 1/2 x BC x TE)

                         = 400 + (2 x 10 x 13)

                         = 400 + 260

                         = 460 cm2

Demikian sedikit tentang cara menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar.

Semoga bermanfaat.

  

Menyelesaikan dan Menentukan Nilai Integral Tentu

Beberapa materi mapel Matematika SMA yang agak sulit adalah materi Integral. Integral merupakan kebalikan dari turunan fungsi (diferensial). Yang akan kita pelajari di sini adalah integral tentu dan integral taktentu dari fungsi aljabar.

Jika kita mempunyi fungsi y = f(x) maka turunannya adalah y' = dy/dx, atau y' = f'(x). Sehingga integral dari y' adalah y, atau integral dari dy/dx adalah y.

Setelah mempelajari integral tak tentu di postingan yang lalu, selanjutnya akan kami berikan cara menentukan hasil integral tentu. Integral tentu yaitu suatu integral fungsi yang memiliki batas atas dan batas bawah untuk disubstitusikan pada hasil pengintegralan.

Jika integral dari f(x) adalah F(x), maka :

Lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh cara menyelessaikan integral tentu berikut.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Contoh 5






























  


Contoh 6
Tentukan nilai a

Oleh karena nilai a>1, maka penyelesaiannya adalah a = 2.


Contoh 7
Tentukan nilai p.

Jadi, nilai p = 2.


Contoh 8
Tentukan integral trigonometri berikut.

Contoh 9
Tentukan integral trigonometri berikut.

Demikian sedikit gambaran tentang cara menghitung integral tentu.
Semoga Bermanfaat.
  

Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi (Bagian 3)

Kombinasi
Mari kita lanjutkan mempelajari tentang kombinasi dan problem solvingnya.
Secara umum kombinasi diartikan sebagai susunan obyek beberapa unsur dari semua unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutan. Jadi, urutan unsur-unsur dalam objek tersebut.

Agar lebih mudah Anda memahami, perhatikan contoh berikut.
1) Misalkan kamu mempunyai cat air warna Kuning, Biru, Merah.Jika Anda mencampur dua cat warna tersebut, ada berapa warna baru yang dapat Anda peroleh?
Permasalahan ini mempunyai 3 cat warna yang berbeda. Maka Anda bisa mencampur dengan susunan berikut.
(Kuning , Biru)   , ingat Pencampuran kuning dan biru sama saja dengan biru dan merah.
(Kuning, Merah)  , ingat Pencampuran kuning dan merah sama saja dengan merah dan kuning.
(Biru, Merah) , ingat Pencampuran biru dan merah sama saja dengan merah dan biru.
Susunan warna inilah yang dikatakan contoh bentuk kombinasi.

2. Sekolah mempunyai 5 siswa (Misalkan A, B, C, D, dan E) yang mengikuti kelas olimpiade matematika. Karena akan ada even olimpiade tingkat nasional, maka pihak sekolah akan memilih 3 siswa untuk diikutkan pada olimpiade Matematika tersebut.
Berapa banyak cara sekolah tersebut memilih tim olipiade tersebut?
Permasalahan ini memilih 3 siswa dari 5 siswa yang akan dipilih. Perlu diingat bahwa jika sekolah memilih A, B, dan C, itu sama artinya dengan memilih B, C, dan A, atau memilih C, A, dan B. 
Jadi, urutan siswa-siswa yang dipilih tidak  mempengaruhi keanggotaan tim.
Jadi, pihak sekolah dapat memilih keanggotaan tim olimpiade sebagai berikut.
A, B, C          B, C, D            
A, B, D          B, C, E
A, B, E          B, D, E
A, C, D          C, D, E
A, C, E 
A, D, E
Ada 10 kemungkinan (cara) memilih tim olimpiade.

Secara umum, jika kita mempunyai n unsur yang tersedia, maka banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah:

Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Seorang siswa diminta mengerjakan soal Matematika sebanyak 10 soal dari 15 soal yang ada. Jika soal yang bernomor ganjil wajib dikerjakan, berapa banyaknya pilihan untuk mengerjakan soal yang diminta?
Jawaban:
Banyak soal yang bernomor ganjil (wajib dikerjakan) ada 8 soal (no.1,3,5,7,9,11,13,15)
Sehingga ada 7 soal sisa, dan siswa masih bisa memilih 2 soal.
Sehingga banyak cara memilih ada 7 kombinasi 2.

 












Jadi, banyak cara siswa memilih soal ada 21 cara.

Contoh 2

Sebuah pelatnas mempunyai 16 pemain voli. Untuk mengikuti turnamen antar propinsi, seorang manajer ingin memilih 12 pemain. Berapa banyak cara memilih anggota pemain yang akan mengikuti turnamen?  
Jawaban:
Banyak cara memilih ada 16 kombinasi 12.

 

Jadi, banyak cara siswa memilih anggota pemain ada 1.820 cara.

Contoh 3

Berapa banyak cara menyusun tim beranggotakan 2 putri dan 3 putra dari 5 putri dan 7 putra yang ada ?

Jawaban:
Banyak cara menyusun tim dengan menjumlah dua kombinasi masing-masing tim putri dan putra.
Sehingga banyaknya cara menyusun adalah:

 

















Jadi, banyak cara menyusun tim ada 45 cara.

Contoh 4
Di dalam kantong terdepat 10 kelereng warna yang berbeda. Andi mengambil 4 kelereng sekaligus. Ada  berapa banyak kemungkinan jenis warna 4 kelereng yang diambil Andi?
Jawaban:
Permasalahan kombinasi 4 dari 10.

Jadi, banyak kemungkinan ada 210.


Contoh 5
Sebuah perusahaan mencari karyawan sebanyak 2 karyawan wanita dan 4 karyawan pria.  Jika kandidat calon karyawan ada 5 wanita dan 7 pria, berapa banyak pilihan karyawan yang dapat dilakukan oleh perusahaan?
Jawaban:
Permasalahan penjumlahan kombinasi 
Memilih 2 dari 5 wanita dan memilih 4 dari 7 pria.

Jadi, banyak pilihan karyawan yang dapat dilakukan oleh perusahaan ada 45.

Demikian sedikit contoh penjelasan tentang kombinasi. 
Semoga bermanfaat.

Materi Terkait : PERMUTASI