Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Oktober 12, 2015 Add Comment
Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan logaritma merupakan materi pelajaran yang diajarkan di SMA. Berkaitan dengan logaritma, pembelajaran ini dibagi menjadi dua bagian, yaitu dasar-dasar logaritma yang meliputi sifat dan operasi hitung logaritma, dan yang kedua adalah persamaan dan pertidaksamaan, serta fungsi logaritma.

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang persamaan dan pertidaksamaan logaritma beserta cara menyelesaikannya.

Persamaan Logaritma
Sebelumnya, perhatikan sifat-sifat logaritma berikut.
Misalkan diketahui alog b, alog c dengan a>0, b>0, c > 0.

alog b = log b/log a

alog a = 1

alog b + blog c = alog bc

alog b - blog c = alog b/c

alog b . blog c = alog c

alog bn = n alog b

Beberapa bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya sebagai berikut.
1. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
alog f(x) = alog g(x), dengan syarat a > 0,


Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0


g(x) boleh berupa konstanta



2. Bentuk alog f(x) = blog f(x)

alog f(x) = blog f(x), dengan syarat a, b > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1



3. Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)

h(x)log f(x) = h(X)log g(x), dengan syarat h(x) > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak sama dengan 1.

Lebih jelasnya perhatikan  beberapa contoh berikut.
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut
1.  5log 2x = 5log 20
2.  3log (3x + 1) = 3log 25
3.  xlog (2x + 3) = xlog (x + 9)
4.  4log (5x + 4) = 3
5.  2log (2x2+ 15) = 2log (x2 + 8x)
Jawaban:
1.  5log 2x = 5log 20
       2x = 20
         x = 10
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 10.

2.  3log (3x + 1) = 3log 25
3x + 1 = 25
      3x = 24
        x =  8
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 8.

3.  xlog (2x + 3) = xlog (x + 9), syaratnya x>0.
2x + 3 = x + 9
2x – x = 9 – 3
       x = 6
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.

4.  4log (5x + 4) = 3
4log (5x + 4) = 4log 43
4log (5x + 4) = 4log 64
          5x + 4 = 64
                5x = 60
                  x = 12
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 12.

5.  2log (2x2+ 15) = 2log (x2 + 8x)
2x2+ 15 = x2 + 8x
2x2– x2 –  8x + 15 = 0
         x2–  8x + 15 = 0
         (x – 3)(x – 5) = 0
         x = 3 atau x = 5
     Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 5.

Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah penyelesaiannya hampir sama dengan cara penyelesaian padapersamaan logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut
1.  5log 3x + 5 < 5log 35
2.  3log (2x + 3) > 3log 15
3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
4.  2log (5x – 14) < 6
5.  4log (2x2+ 24) > 4log (x2 + 10x) 
6.  x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7.  2x-5log (x2+ 5x) > 2x-5log (4x + 12)




Jawaban:
1.  5log 3x + 5 < 5log 35
Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)
3x + 5 < 35
      3x < 30
        x < 10  ....(2)
Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.  3log (2x + 3) > 3log 15
Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2x + 3 > 15
      2x > 12
        x > 6  ....(2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)
x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
6x + 2 < x + 27
 6x – x < 27 – 2
      5x < 25
        x < 5   ..... (3)
Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4.  2log (5x – 16) < 6
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2log (5x – 16) < 2log 26
2log (5x – 16) < 2log 64
         5x – 16 <  64
                5x < 80
                  x < 16 . . . . (2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5.  4log (2x2+ 24) > 4log (x2 + 10x)
Syarat nilai pada logaritma.
2x2+ 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)
x2+ 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x2+ 24) >  (x2 + 10x)
2x2- x2 - 10x + 24 > 0
        x2- 10x + 24 > 0
        (x – 4)(x – 6) >
       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6.  x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Syarat nilai pada bilangan x+1>0  
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) >  (x + 5)
   2x - x > 5 + 3
          x >  8         ...(4)
    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

 
Untuk  x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) <  (x + 5)
   2x - x < 5 + 3
          x <  8         ...(4)
    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.
Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.


7.  2x-5log (x2+ 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0  
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3        . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
x2+ 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x + 12 > 0, maka x > -3                       . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2+ 5x) < (4x + 12)
x2+ 5x - 4x - 12 < 0
        x2+ x - 12 < 0
    (x + 4)(x - 3) < 0 
       -4 < x < 3              . . . . . (4)
 
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.
     
     Untuk  2x-5 > 1 atau  x > 3       . . . (1)
     Syarat nilai pada logaritma.
x2+ 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)
    
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2+ 5x) > (4x + 12)
x2+ 5x - 4x - 12 > 0
         x2+ x - 12 > 0
(x + 4)(x - 3) > 0 
x <-4 atau  x > 3        . . . . . (4)
  
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.
 
Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3.
 

Demikian sedikit contoh cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma yang dapat saya berikan. 
Semoga bermanfaat bagi Anda.

Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Oktober 08, 2015 Add Comment
Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan Persamaan Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.






Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6 
jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3
Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.

Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Misalnya seperti berikut.







Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.







Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.







Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.











Jawaban:
Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 - 5 = -2
   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}

2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 - 3
                                       2x = 2  <==>  x = 1
   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3
                                         2x = -8  <==> x = -4
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}

3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1

Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (x + 1) + 2x = 7
                   3x = 7 - 1
                   3x = 6
                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(x + 1) + 2x = 7
        -x - 1 + 2x = 7
                      x = 7 + 1                
                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

 4. 
Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3

Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (3x + 4) = x - 8
        3x - x = -8 - 4
             2x =-12
               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(3x + 4) = x - 8
        -3x - 4 = x -8
         -3x - x = -8 + 4
              -4x = -4
                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)

Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .
Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.








Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.






Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.









Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
    -9 < x+7 < 9
    -9 - 7 < x < 9 - 7
       -16 < x < 2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
   (*) 2x - 1 >=  7
             2x  >=  7 + 1
             2x  >= 8
               x  >= 4

  (**) 2x - 1 <= -7
             2x   <= -7 + 1
             2x   <= -6
               x   <= -3
  
    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.

(x + 3)2 <= (2x – 3)2

(x + 3)2 - (2x – 3)2<= 0

(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))

x (6 - x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Mari selidiki menggunakan garis bilangan







Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.









Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.






Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3  ......(1)
   (3x + 1) - (2x + 4) < 10
          3x + 1 - 2x- 4 < 10
                         x- 3 < 10
                             x < 13 .......(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13

2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ......(1)
    -(3x + 1) - (2x + 4) < 10
          -3x - 1 - 2x - 4 < 10
                       -5x - 5 < 10
                             -5x < 15 
                               -x < 3
                             x > 3 .......(2)

  Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.


3. Untuk batasan x < -2  ......(1)
   -(3x + 1) + (2x + 4) < 10
         -3x - 1 + 2x + 4 < 10
                        -x + 3 < 10
                             -x  < 7
                                x > -7 .......(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.