Persamaan, Pertidaksamaan Irrasional dan Mutlak

Persamaan dan Pertidaksamaan Irrasional
Materi yang akan kita pelajari saat ini adalah materi kelas X pada kurikulum 2013.
Kesempatan ini akan kita bahas dan pelajari materi persamaan dan pertidaksamaan irrasional terlebi dahulu. Anda pasti tahu bahwa bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat. Contoh bilangan irasional salah satunya adalah bentuk akar bilangan tertentu, misalnya akar 2, akar 5, akar 8. Bilangan akar 9 bukan termasuk bilangan irasional, sebab akar 9 dapat dinyatakan dalam bentuk 3/1. Bilangan 5,33333.... bukan termasuk bilangan irasional sebab 5,3333... = 16/3.

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang bentuk akar yang melibatkan variabel.
Perlu Anda ketahui bahwa syarat suatu bilangan mempunyai nilai real adalah bilangan itu ada nilainya dengan nyata. Dengan demikian bilangan di dalam akar harus nonnegatif.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan nilai x agar bentuk akar di bawah ini terdefinisi.

Jawaban:

Ingat : syarat nilai di dalam akar nonnegatif (>= 0) (>= dibaca lebih dari atau sama dengan)

Soal – soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut.

1.    2x – 4 >= 0

     2x >= 4

     x >= 2

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= 2.

2.    3x + 21 >= 0

     3x >= –21

     x >= –7

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= –7.

3.    X² – 3x – 10 >= 0

     (x – 5)(x + 2) >= 0

     x <= –2 atau x >= 5

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x <= –2 atau x >= 5.

 Selanjutnya mari membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan irasional atau yang mengandung bentuk akar.

Perhatikan sifat-sifat dan rumus-rumus bentuk akar di bawah ini.

Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah ini.

Jawaban :
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk akar di atas, perhatikan bilangan dan fungsi yang berada di dalam tanda  akar.

Soal – soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut.

1.    4x – 5 = 3

4x = 3 + 5

4x = 8

       x = 2

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

2.    3x + 7 = 2²

3x + 7 = 4

           3x = 4 – 7

           3x = –3

             x = –1

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1}.

3.   6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 5

       4x = 12

         x = 3

Untuk x = 3, nilai f(3) = 6(3) – 5 = 18 – 5 = 13 (>=0)

Begitu juga nilai g(3) = 13 (>=0)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3}.


Selanjutnya perhatikan contoh lain berikut.
Contoh 3.

Jawaban:
Untuk penyelesaiannya sebagai berikut.

Untuk nilai x = -1, tidak memenuhi syarat batasan x.



 Coba perhatikan penyelesaian nomor 2.

Dengan kondisi di atas, maka kuadratkan lagi kedua ruas tersebut.  Perhatikan langkah berikutnya. Ingat,tujuan terakhir adalah menentukan nilai x.

Syarat X+3 >= 0 dan 30 - x >=0.
Atau digabungkan menjadi syarat:
-3 <= x <= 30.











Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6}.

Selanjutnya mari mempelajari persamaan dan pertidaksamaan nilai Mutlak.
Klik link di bawah ini
Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak
 

Cara Membuat Diagram Histogram dan Poligon Frekuensi

Cara Membuat Diagram Histogram dan Poligon Frekuensi  - Sebelumnya Rumus Matematika Dasar sudah pernah menjabarkan mengenai tabel frekuensi data berkelompok yang dikenal juga sebagai tabel distribusi frekuensi. Sekarang mari kita ingat lagi materi tersebut dengan mengamati tabel distribusi frekuensi data berkelompok dari nilai ujian Matematika 50 siswa kelas IX SMP Tunas Bangsa di bawah ini:

Pada tabel di atas, data yang ada dikelompokkan ke dalam tujuh kelas interval. Interval yang pertama yaitu 50 – 54 dimana frekuensinya adalah 2, artinya siswa yang mendapat nilai ulangan di antara 50 – 54 ada 2 orang. Pada interval tersebut, nilai 50 menjadi batas bawah sementara nilai 54 menjadi batas atas kelas.

Selain terdapat batas atas dan batas bawah, dikenal juga istilah tepi bawah dan tepi atas kelas. Tepi bawah dan tepi atas kelas tersebut digunakan untuk memastikan bahwa data yang masuk benar-benar berada di kelas interval yang tepat. Di samping itu, tepi bawah dan tepi atas kelas juga berfungsi untuk menentukan panjang dari kelas interval apabila data-data yang ada telah tersaji dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Adapun cara menentukan tepi bawah dan atas kelas adalah sebagai berikut:

Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5

Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5

Sementara panjang kelas innterval merupakan selisih yang terjadi antara tepi atas dan tepi bawah kelas. Kita ambil contoh dari tabel di atas untuk interval yang pertama yaitu 50 – 54 dapat ditentukan:

Tepi bawah kelas = 50 – 0,5 = 49,5

Tepi atas kelas = 54 + 0,5 = 54,5

Panjang kelas = 54,5 – 49,5 = 5

Histogram dan Poligon Frekuensi

Dari tabel distribusi frekuensi kita bisa membuat sebuah diagram dengan menggunakan beberapa persegi panjang yang disebut sebagai histogram. Bentuk dari histogram hampir sama dengan diagram batang namun pada histogram persegi panjang atau batang-batang yang ada saling berhimpitan. Pada histogram, tiap-tiap persegi panjang menentukan kelas tertentu, lebar persegi panjang menunjukkan panjang kelas sementara tinggi persegi panjang menunjukkan frekuensinya. Dari tabel yang sudah dijelaskan di atas, kita dapat membuat histogramnya menjadi seperti yan gtampak pada gambar di bawah ini:

Selain dengan histogram, kita juga bisa menggambarkan tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan poligon frekuensi. Poligon frekuensi dapat kita buat dengan cara menghubungkan titik-titik tengah dari tiap kelas interval secara berurutan. Agar poligon frekuensi “tertutup” pada ujung-ujungnya, maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas kita tambahkan satu lagi kelas dengan frekuensi nol. Berikut adalah hasil penyajian tabel distribusi nilai yang ada di atas ke dalam poligon frekuensi:

Demikianlah akhir dari pembahasan materi tentang Histogram dan Poligon Frekuensi. Cermati dengan seksama penjelasan yang diberikan di atas agar kalian bisa menguasai materi ini dengan baik sehingga bisa menyajikan tabel distribusi frekuensi ke dalam bentuk histogram maupun poligon frekuensi. Selamat mencoba!!!

Ukuran Penyebaran Data Statistika

Ukuran Penyebaran Data Statistika - Di dalam artikel sebelumnya kita telah bersama-sama mempelajari materi pelajaran matematika mengenai Ukuran Pemusatan Data yang di dalamnya meliputi Mean, Median, dan Modus. Pada kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai ukuran penyebaran data. Untuk mengetahui lebih jelas mengenai apa yang dimaksud dengan ukuran penyebaran data maka sebaiknya kalian menyimak dengan baik penjelasan yang akan diberikan oleh Rumus Matematika Dasar berikut ini:

Ukuran penyebaran data adalah nilai ukuran yang memberikan gambaran mengenai seberapa besar suatu data menyebar dari titik-titik pemusatannya. Ukuran penyebaran data meliputi jangkauan, kuartil, jangkauan interkuartil, serta jangkauan semiinterkuartil atau biasa disebut juga sebagai simpangan kuartil.

Pengertian Jangkauan, Kuartil, Jangkauan Interkuartil, dan Jangkauan Semiinterkuartil

Jangkauan

Yang dimaksud dengan jangkauan dari suatu data adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil yang ada di dalam data tersebut. Jangkauan dapat dirumuskan sebagai berikut:

Jangkauan = data terbesar – data terkecil.

Mari kita simak contoh soal mengenai jangkauan di bawah ini:

Contoh Soal:

Berikut adalah nilai rapor Putri selama 1 semester terakhir:

78  80  85  90  75

94  92  88  89  95

84  85  92  96  87

Tentukanlah jangkauan dari data tersebut!

Penyelesaian:

Data terbesar = 96

Data terkecil = 75

Jangkauan = data terbesar – data terkecil

Jangkauan = 96 – 75

Jangkauan = 21

Kuartil

Kuartil adalah ukuran yang membagi data yang sudah diurutkan menjadi empat bagian yang sama. Contohnya adalah sebagai berikut:

Data yang berada di batas pengelompokan pertama disebut sebagai Kuartil Bawah (Q₁), data yang berada pada batas pengelompokan yang kedua disebut sebagai Kuartil Tengah (Q₂), sedangkan data yang ada pada batas pengelompokan ketiga disebut dengan Kuartil Atas (Q­₃).

Untuk menentukan nilai-nilai kuartil kita harus mengurutkannya lalu kemudian menentukan kuartil tengahnya terlebih dahulu (Q₂) yang merupakan median dari data tersebut. Setelah itu, seluruh data yang ada di sebelah kiri digunakan untuk mencari kuartil bawah (Q₁). Nilai Q₁adalah median dari data yang ada di sebelah kiri Q₂  sedangkan Q₃ adalah median dari seluruh data yang ada di sebelah kanan Q₂.

Pada suatu data yang memiliki ukuran yang cukup besar, nilai-nilai kuartil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini:

Letak Qi = data ke- i/4 (n+ 1)

i = 1, 2, dan 3

n = banyak data (syaratnya banyak data harus lebih dari 4)

Rumus tersebut dapat digunakan setelah data diurutkan naik.

Contoh Soal:

Tentukan nilai kuartil dari data berikut:

3    7    7    7    8    8    9    10    11    11    11

Penyelesaian:

Kareana datanya sudah terurut naik, maka kita bisa menentukan nilai Q₁, Q2, dan Q₃ sebagai berikut (n= 11).

Letak Q₁ = data ke-1/4 (11 + 1) = data ke-3

Karena data ke-3 = 7 maka Q₁ = 7

Letak Q₂ = data ke-2/4 (11 + 1) = data ke-6

Karena data ke-6 = 8 maka Q₂ = 8

Letak Q₃ = data ke-3/4 (11 + 1) = data ke-9

Karena data ke-9 = 11 maka Q₃ = 11

Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semiinterkuartil

Jangkauan interkuartil merupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Sehingga dapat dirumuskan menjadi:

Q_R = Q₃ - Q₁

Sedangkan jangkauan semiinterkuartil merupakan setengah dari jangkauan interkuartil. Sehingga dapat dirumuskan menjadi:

Q_d = 1/2 Q_R atau Q_d = 1/2(Q₃ - Q₁)

Contoh Soal:

Tentukan jangkauan, jangkauan interkuartil, dan jangkauan semiinterkuartil dari data berikut:

3,  5,  1,  4,  2,  7,  9,  6,  6,  8,  7.

Penyelesaian:

Data diurutkan menjadi :

Diketahui:

data terbesar = 9

data terkecil = 1

Q₁ = 3

Q₂ = 6

Q₃ = 7

Jangkauan = data terbesar – data terkecil = 9 – 1 = 8

Jangkauan interkuartil = Q_R = Q₃ - Q₁ = 7 – 3 = 4

Jangkauan semiinterkuartil = 1/2(Q₃ - Q₁) = 1/2 x 4 = 2

Demikianlah ulasan lengkap seputar Ukuran Penyebaran Data semoga apa yang telah disampaikan di atas dapat kalian pahami dengan baik. Sampai bertemu kembali pada pembahasan materi pelajaran matematika selanjutnya. Selamat belajar!!!

Ukuran Pemusatan Data Mean, Median dan Modus

Ukuran Pemusatan Data Mean, Median dan Modus – Ukuran pemusatan dari sekelompok data merupakan nilai ataupun data yang bisa mewakili sekelompok data tersebut atau seringkali disebut juga sebagai rata-rata. Nilai rata-rata pada umumnya memiliki kecenderungan terletak pada posisi tengah-tengah di dalam suatu kelompok data yang disusun secara berurutan atau dengan kata lain memiliki kecenderungan memusat. Sebagai contoh suatu data tinggi badan dari beberapa siswa adalah sebagai berikut:

135  140  150  150  150  155  157  160

Dari data tersebut terlihat bahwa sebagian besar tinggi siswa dapat diperkirakan sekitar 150 cm. dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan bahwa 150 merupakan ukuran pemusatan dari data tinggi badan siswa yang ada di atas.

Perlu kalian ketahui bahwa ada beberapa jenis ukuran pemusatan data yang biasa digunakan di dalam matematika yaitu Mean, Median, dan Modus. Pada artikel ini Rumus Matematika Dasar akan menjelaskannya satu persatu di mulai dari Mean.

Ukuran Pemusatan Data Mean, Median dan Modus

Mean/Rataan Hitung

Yang dimaksud sebagai mean dari sekumpulan data adalah total jumlah keseluruhan data yang dibagi dengan banyaknya data yang ada. Apabila terdiri atas n, yaitu x₁, x₂, x₃, … x_n maka mean dari data tersebut dapat dirumuskan seperti berikut ini:

Contoh Soal dan Penyelesaian:

Nilai rata-rata ulangan harian matematika dari 19 orang siswa adalah 65. Apabila nilai Bejo digabungkan ke dalam kelompok nilai tersebut, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi 66. Berapakah nilai ulangan harian matematika yang diperoleh Bejo?

Penyelesaian:

Nilai ulangan harian Bejo: x

Jumlah nilai ulangan harian sekarang = 19 x 65 + x = 1.235 + x

Banyak data sekarang = 19 + 1 = 20

Mean terakhir = 1.235 + x

                                  20

66  = 1.235 + x

             20

66 x 20 = 1.235 + x

1.320 = 1.235 + x

X = 1.320 – 1.235

X = 85

Maka dapat disimpulkan bahwa nilai ulangan harian yang diperoleh Bejo adalah 85.

Median/Nilai Tengah

Di dalam mencari median, data yang diperoleh harus diurutkan terlebih dahulu dari yang paling kecil ke yang paling besar. Perhatikan nilai ulangan matematika yang diperoleh Hasty berikut ini:

80  85  90  88  94  99  87

Nilai tersebut dapat diurutkan menjadi:

80  85  87  88  90  94  99

Setelah nilai tersebut diurutkan coba kalian perhatikan nilai manakah yang berada tepat di tengah-tengah? Nilai yang tepat terletak ditengah-tengah adalah 88. Nilai itulah yang kita sebut sebagai median dari suatu data. Jadi, dapat ditarik kesimpulan bahwa median adalah nilai yang letaknya tepat ditengah-tengah dari sebuah data yang telah diurutkan.

Perlu diingat bahwa apabila banyaknya data adalah ganjil, maka median adalah nilai yang berada tepat ditengah data tersebut setelah diurut. Namun, apabila banyaknya data adalah genap maka median adalah mea (nilai rata-rata) dari dua bilangan yang berada di tengah-tengah data tersebut setelah diurut.

Contoh Soal dan Penyelesaian:

Tentukan median dari data berikut:

12  13  17  11  10  15

Penyelesaian:

Banyak data tersebut adalah genap, sete;ah diurutkan diperoleh:

10  11  12  13  15  17

Karena datanya genap maka mediannya adalah 12 + 13 : 2 = 12,5

Modus

Di dalam sebuah proses pengumpulan data, biasanya akan didapatkan hasil yang bervariasi. Ada data yang muncul hanya sekali da nada juga data yang muncul berkali-kali. Data yang paling sering muncul itulah yang disebut sebagai Modus.

Contoh Soal dan Penyelesaian:

Tentukanlah modus dari data-data berikut ini:

a. 4, 6, 5, 7, 5, 8, 5, 6, 7

b. 1, 3, 2, 4, 2, 3, 5

c. 1, 10, 7, 8, 4, 3, 5, 9

Penyelesaian:

a. angka 5 muncul 3 kali pada data tersebut, maka modusnya adalah 5

b. angka 2 dan 3 memiliki frekuensi yang sama (muncul 2 kali) maka modus dari data tersebut adalah 2 dan 3. Data yang modusnya ada dua disebut sebagai bimodus.

c. karena masing-masing data memiliki frekuensi yang sama maka tidak ada modus.

Demikianlah kiranya penjelasan serta pembahasan yang dapat diberikan oleh kami mengenai Ukuran Pemusatan Data Mean, Median dan Modus semoga bisa membantu kalian untuk lebih memahami materi ini.