Menyelesaikan masalah dengan KPK dan FPB (3)

Berikut ini akan diberikan cara menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan KPK dan FPB

Permasalahan tentang KPK

Soal no.1

Lampu A berkedip setiap 5 detik. Lampu B berkedip setiap 4 detik. Lampu C berkedip setiap 6 detik. Ketiga lampu tersebut berkedip bersamaan setiap .... detik

a.   20 
b.   30
c.   40 
d.   60 
Jawaban : d

Permasalahan  di atas tentang KPK. Untuk itu mari menyelesaikan dan menentukan KPK bilangan-bilangan itu.

4   = 2²

5   = 5

6   = 2 × 3

KPK     = 2² × 3 × 5 = 60

Jadi, Ketiga lampu tersebut berkedip bersamaan setiap 60 detik.

 Soal no.2

Susi, Riko, dan Tini berturut-turut mengunjungi perpustakaan setiap 4 hari, 6 hari, dan 8 hari sekali. Jika pada tanggal 15 Juli 2014 mereka bertemu di perpustakaan, pada tanggal berapa mereka bertemu di perpustakaan yang akan datang?

a.   8 Agustus 2014

b.   9 Agustus 2014

c.   10 Agustus 2014

d.   11 Agustus 2014

Jawaban: a

Permasalahan tentang KPK

4   = 2²

6   = 2 × 3

8   = 2³

KPK = 2³ × 3 = 24

Susi, Riko, Tini akan bertemu 24 hari sehari. Dua puluh empat hari setelah tanggal 15 Juli 2014 adalah 8 Agustus 2014.

Trik menentukan tanggal.
Tanggal = (n + tanggal sekarang) - lama hari bulan Juli
             = (24 + 14) - 31
             = 8 sgustus

Soal no.3

Rida, Sita, dan Dewi mengikuti kursusmenari di sanggar yang sama. Rida berlatih setiap 6 hari sekali. Sita berlatih setiap 4 hari sekali. Dewi berlatih setiap 8 hari sekali. Jika pada tanggal 17 Oktober 2014 mereka berlatih bersama-sama di sanggar tersebut, mereka berlatih bersama-sama sebelumnya pada tanggal . . . .

a.   11 Oktober 2014

b.   5 Oktober 2014

c.    13 September 2014

d.   23 September 2014

Jawaban: d

Permasalahan tentang KPK

KPK dari 4, 8, dan 6 adalah 24. Mereka (Rida, Sita, dan Dewi) berlatih bersama-sama 24 hari sebelum tanggal 17 Oktober 2014, yaitu tanggal (30 + 17) – 24 September 2014 atau tanggal 23 September 2014.

Soal no.4

Citra, Dina, dan Elsa mengikuti kursus menyanyi di tempat yang sama. Citra mempunyai jadwal berlatihsetiap 4 hari sekali, Dina setiap 8 hari sekali, dan Elsa setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 6 November 2015mereka datang bersamaan. Mereka akan datang bersamaan lagi pada tanggal . . . .

a.   26 November 2015

b.   16 Desember 2015

c.    18 Desember 2015

d.   26 Desember 2015

Jawaban: b

Permasalahan KPK

KPK dari 4, 8, dan 5 adalah 40.

40 hari setelah tanggal 6 November 2015 adalah tanggal (6 + 40 – 30) Desember 2014 atau 16 Desember 2015.

Jadi, mereka akan berlatih bersama pada tanggal 16 Desember 2015.

Permasalahan tentang FPB

Soal no.5

Ibu akan membagikan 84 kue donat dan 56 kue bolu kepada beberapa tetangganya. Setiap tetangga diharapkan memperoleh jumlah dan jenis yang sama banyak. Ibu bisamembagikan sebanyak-banyaknya kepada . . . tetangga.

a.   28

b.   30

c.    32

d.   35

Jawaban: a

Permasalahan di atas tentang FPB
Mari menentukan FPB dari bilangan-bilangan tersebut.

84  = 2 × 2 × 3 × 7

56  = 2 × 2 × 2 × 7

FPB     = 2 × 2 × 7 = 28

Jadi, ibu dapat membagikan sebanyak-banyaknya kepada 28 tetangga.

Soal no.6

Vika mempunyai 36 pita merah, 48 pita kuning, dan 60 pita emas. Pita-pita tersebut akan digunakan untuk menghias beberapa kadodengan jumlah dan jenis sama banyak untuk setiap kado. Vika akan menghias kado sebanyak-banyaknya. Pita emas yang digunakan untuk menghias sebuah kado sebanyak . . . pita.

a.   12

b.   6

c.    5

d.   4

Jawaban: c

Permasalahan tentang FPB

36       = 2 × 2 × 3 × 3

48       = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

60       = 2 × 2 × 3 × 5

-------------------------------

FPB     = 2 × 2 × 3 = 12

Banyak pita emas yang digunakan sebuah kado adalah 60 : 12 = 5 pita.

Soal no.7

Dalam acara seminar diikuti oleh 90 guru Matematika dan 72 guru IPA. Dalam sesi diskusi, panitia meminta agar dibentuk kelompok diskusi. Masing-masing kelompok terdiri atas guru-guru fengan jenis guru mapel dan jumlah jumlah sama banyak. Panitia akan membuat sebanyak-banyaknya kelompok tersebut. Banyak guru Matematika setiap kelompok ada . . . .

a.   5 guru

b.   6 guru

c.    8 guru

d.   18 guru

Jawaban: a

Permasalahan di atas adalah permasalahan FPB
Mari menentukan FPB dari bilangan-bilangan tersebut.

72       = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

40       = 2 × 3 × 3 × 5

-------------------------------

FPB     = 2 × 3 × 3 = 18

Terbentuk 18 kelompok

Banyak guru Matematika pada setiap kelompok = 90 : 18 = 5 orang.

Demikian sedikit gambaran tentang cara menentukan dan menyelesaikan masalah tentang KPK dan FPB dalam permasalahan sehari-hari.
Semoga bermanfaat.

Faktor, Kelipatan, Faktor Prima, Faktorisasi Prima, KPK dan FPB (2)

Dalam kesempatan ini kita akan membahas dan belajar tentang Faktor prima, faktorisasi prima, Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan Faktor persekutuan terbesar (FPB) menggunakan faktorisasi prima.

 
Faktorisasi Prima dan Faktor Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Bilangan prima = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .

Faktorisasi prima adalah penjabaran suatu bilangan menjadi perkalian-perkalian bilangan prima. Jadi, dengan perkalian beberapa bilangan prima diperoleh hasil boilangan itu.

Contoh 

6 = 2 x 3          (2 dan 3 adalah bilangan prima)

20 = 2 x 2 x 5  (2 dan 5 adalah bilangan prima)

45 = 3 x 3 x 5  (3 dan 5 adalah bilangan prima)

70 = 2 x 5 x 7  (2, 5, dan 7 adalah bilangan prima)

Bentuk bentuk di atas merupakan contoh faktorisasi prima dari suatu bilangan.

Faktor Prima adalah bilangan-bilangan prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
Misalkan pada faktorisasi prima di atas.
6 memiliki faktor prima 2 dan 3 .
20 memiliki faktor prima 2 dan 5.
45 memiliki faktor prima 3 dan 5.
70 memiliki faktor prima 2, 3, dan 5.

Untuk bilangan-bilangan yang kecil, mungkin mudah untuk membuat faktorisasi prima. Namun untuk bilangan yang besar perlu pemikiran yang lebih. Pada kesempatan ini mari membuat faktorisasi bilangan yang lebih besar. Caranya dengan pohon faktor. Prinsip pohon faktor adalah pembagian bilangan sampai dengan bilangan prima pada ujung-ujungnya.

Perhatikan cara berikut. 

Faktorisasi prima dari 48
48 = 2 x 2 x 2x 2 x 3 = 2⁴ x 3
Faktor prima = 2 dan 3

Faktorisasi prima dari 90
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x5
Faktor prima = 2, 3 dan 5

Faktorisasi prima dari 140
140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² x 5 x 7
Faktor prima = 2, 5 dan 7

Faktorisasi prima dari 240
240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴ x 3 x 5
Faktor prima = 2, 3 dan 5








Menentukan  FPB menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Pilihlah bilangan faktor yang sama dan kalikanlah
3. Pada bilangan faktor yang ada pangkatnya, pilihlah bilangan dengan pangkat terkecil

Contoh:
Tentukan FPB dari 60 dan 36

60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3² 
FPB = 2² x 3 = 12 (pada bilangan 3 dipilih pangkat terkecil yaitu 3)

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan

FPB = 2 x 2 x 3 = 12






Tentukan FPB dari 120 dan 300
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5
300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5² 
FPB = 2² x 3 x 5 = 60 (pada bilangan 2 dan 5 dipilih pangkat terkecil yaitu 2² dan 5)

Cara Kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
FPB = 2² x 3 x 5 = 60





Menentukan  KPK menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Tulislah semua bilangan faktor yang sama
3. Jika ada bilangan faktor yang berpangkat, pilihlah bilangan dengan pangkat terbesar, kemudian kalikanlah


Contoh:
Tentukan KPK dari 30 dan 48
30 = 2 x 3 x 5
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3

KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240 (pada bilangan 2 dipilih pangkat terbesar yaitu 2⁴ )

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
Bagilah sampai selesai, hasilnya 1-1
KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240

Tentukan KPK dari 45, 60, dan 75
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
75 = 3 x 5 x 5 = 3 x 5² 

KPK = 2² x 3² x 5² = 900 (pada bilangan 2, 3, dan 5 dipilih pangkat terbesar)

Cara kedua

KPK = 2² x 3² x 5² = 900







Demikian sedikit penjelasan tentang faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB.
Semoga bermanfaat.


Untuk mempelajari permasalahan dan penyelesaian masalah keseharian menggunakan KPK dan FPB, lanjutkan dengan KLIK di bawah ini.

Penyelesaian Permasalahan tentang KPK dan FPB

Cara Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran

Cara Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran – Sebelumnya kita sama-sama mempelajari tentang cara melukis garis singgung pada lingkaran, Rumus Matematika Dasar juga sudah menjelaskan materi Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran. Khusus untuk materi pada kesempatan ini yang akan dibahas adalah tentang cara menghitung panjang garis singgung pada suatu lingkaran. Agar lebih mudah dan cepat dalam memahaminya, kita langsung saja mempelajarinya dalam contoh soal serta cara menyelesaikannya berikut ini:

Contoh Soal dan Penyelesaiaan Panjang Garis Singgung Lingkaran

Contoh Soal 1:

Hitunglah panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran jika jarak titik tersebut ke pusat lingkaran adalah 10 cm dan jari-jari lingkaran 6 cm!!

Penyelesaian:

Diketahui OT = 10 cm, r = 6 cm, dan garis singgung lingkaran adalah TA. Karena TAO siku-siku di A maka dengan menggunakan dalil phytagoras diperoleh:

TA²= OT² – OA²

TA²= 10² –6²

TA²= 100 – 36

TA²= 64

TA = √64 = 8

Jadi, panjang garis singgung lingkaran tersebut adalah 8cm.

Contoh Soal 2:

Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui jari-jari OR = OQ = 5 cm dan jarak PO = 13 cm. hitunglah panjang tali busur QR!

Penyelesaian:

Perhatikan ΔPRO

PR²= OP² – OR²

PR²= 13² – 5²

PR²= 169 – 25

PR²= 144

PR = √144 = 12

Luas daerah ΔPRO = 1/2 x alas x tinggi

Luas daerah ΔPRO = ½ x 5 x 12

Luas daerah ΔPRO = 30 cm²

Luas daerah layang-layang PQOR = 2 x 30 cm² = 60 cm²

Luas daerah layang-layang PQOR = 1/2 x diagonal x diagonal

60  = 1/2 x OP x QR

60 = 1/2 x 13 x QR

QR = 120/13 = 9,2

Jadi, panjang tali busur QR adalah 9,2 cm

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 2. Solo : Platinum

itulah penjelasan contoh soal mengenai Cara Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran serta langkah-langkah untuk menyelesaikannya semoga bisa membantu kalian unuk lebih memahami materi tentang persamaan garis singgung lingkaran.

Cara Melukis Garis Singgung pada Lingkaran

Cara Melukis Garis Singgung pada Lingkaran - Dalam artikel sebelumnya Rumus Matematika Dasar menjelaskan kepada kalian tentang materi Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran. Untuk pembahasan kali ini yang akan dipelajari adalah tentang bagaimana langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk melukis garis singgung lingkaran. Untuk melukisnya, kalian akan membutuhkan jangka dan penggaris. Tapi sebelumnya kalian harus perhatikan ter;ebih dahulu uraian di bawah ini:

Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Sekarang, coba kalian amati dan perhatikan gambar berikut ini:

Pada gambar tersebut, titik O merupakan pusat lingkaran dan T adalah titik pada lingkaran. Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik T, lakukanlah langkah-langkah di bawah ini:

Pertama:

Hubungkan titik O dan titik T lalu perpanjang ruas garis OT tersebut.

Kedua:

Buatlah busur lingkaran dengan pusat T yang memotong garis di titik A dan B.

Ketiga:

Buatlah busur lingkaran yang berjari-jari sama dengan pusat A dan B. Kedua busur itu akan berpotongan di C dan D.

Keempat:

Hubungkan garis C dan D. garis CD merupakan garis singgung lingkaran pada titik T seperti bisa kalian lihat pada gambar (b) di atas.

Melukis Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan gambar yang ada di bawah ini:

Gambar tersebut merupakan sebuah lingkaran yang memiliki diameter AB dan titik C pada lingkaran. Coba hubungkan titik A, B, dan C sehingga membentuk sebuah segitiga ABC. Sekarang, coba kalian perhatikan gambar yang ada di bawah ini:

Titik ) pada gambar di atas merupakan pusat lingkaran, sedangkan T adalah titik luar dari lingkaran tersebut. Misalkan kita ingin melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik T, maka langkah-langkahnya adalah:

Pertama:

Hubungkan titik O dan T.

Kedua:

Buatlah busur lingkaran yang berjari-jari sama dengan pusat O dan T sehingga saling berpotongan pada titik C dan D.

Ketiga:

Hubungkan C dan D sehingga memotong OT di titik M.

Keempat:

Buatlah lingkaran dengan pusat M dengan jari-jari OM dan MT sehingga memotong lingkarab dengan pusat o pada titik A dan B.

Kelima:

Hubungkan titik T dengan A serta titik T dengan B seperti yang tampak pada gambar (b) di atas.

Pada gambar tersebut AT dan BT merupakan garis singgung lingkaran. Sekarang cobalah kalian amati garis TA dan TB, apakah kedua garis tersebut sama panjang? Untuk menjawabnya simak raian berikut ini:

Perhatikan ∠TAO dan ∠TBO, besar ∠TOA = ∠TOB dan OA = OB. Maka, dengan menggunakan dalil phytagoras kita akan memperoleh:

OT² = OA² + TA² …. (1)

OT² = OB² + TB² …. (2)

Dari kedua persamaan itu diperoleh:

OA² + TA² = OB² + TB²

TA² = OB² + TB² – OA²

TA² = TB² (karena OB =  OA)

TA = TB

Dari uraian tersebut dapat kita simpulkan bahwa sua garis singgung lingkaran yang ditarik dari suatu titik di luar lingkaran adalah sama panjang.

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 2. Solo : Platinum

Demikianlah uraian yang bisa disampaikan pada materi kali ini yaitu mengenai Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran. Perhatikan dengan baik langkah-langkah yang telah diberikan di atas agar kalian tidak melakukan kesalahak ketika mencoba melukiskan garis singgung pada lingkaran. Selamat mencoba!!!