Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bentuk Aljabar

Rumus Matematika Dasar – Di dalam aljabar kita juga akan menjumpai beragam jenis operasi perhitungan, diantaranya adalah pengurangan dan penjumlahan. Penjumlahan bentuk aljabar diperoleh dengan cara menggabungkan suku-suku yang sejenis. Sementara untuk pengurangan bentuk aljabar kita bisa memperolehnya dengan cara mengurangkan suku-suku yang sejenis lalu kemudian hasilnya dijumlahkan dengan suku-suku yang tidak sejenis.

Bentuk-bentuk aljabar dapat dijumlahkan ataupun dikurangkan dengan menggunakan sifat komutatif dan distributif dengan melihat suku-suku yang sejenis dan koefisien dari masing-masing suku.

Sifat komutatif:

a x b = b x a

Sifat distributif:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

Mengubah bentuk aljabar dari suku-suku (penjumlahan atau pengurangan) ke dalam bentuk faktor-faktor perkalian disebut dengan memfaktorkan dan sebaliknya mengubah faktor perkalian menjadi suku-suku disebut sebagai menjabarkan. Kesamaan yang dihasilkan disebut sebagai identitas, yaitu pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel yang diberikan.

Contoh Soal dan Penyelesaian Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Contoh Soal 1:

Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini!

a. 4x + 2y – x + 7y

b. 2x² + 3xy + 4x – 2xy ₊ 2y²

Penyelesaian:

a. 4x + 2y – x + 7y = 4x – x + 2y + 7y

                                = (4 – 1)x + (2 + 7)y

                                = 3x + 9y

b. 2x² + 3xy + 4x – 2xy ₊ 2y² = 2x² + 4x + (3 – 2)xy + 2y²

                                                 = 2x² + 4x + xy + 2y²

Contoh Soal 2:

Tentukan hasil penjumlahan 5(x²+ 2x) dan x² – 2x

Penyelesaian:

5(x² + 2x) dan x²– 2x = 5x² + 10x + x² – 2x

                                      = (5 + 1) x² + (10 – 2)x

                                      = 6x²+ 8x

Contoh Soal 3:

Tentukan hasil pengurangan dari x²+ 3x + 1 dengan x² + 16

Penyelesaian:

(x² + 3x + 1) - (x²+ 16) = x² + 3x + 1 - x² + 16

                                        = (1 – 1)x² + 3x + (1 – 16)

                                        = 3x – 15

Contoh Soal 4:

Jabarkan bentuk Aljabar berikut ini!

a. 3(x + 5)

b. 2x(x – 2)

Penyelesaian:

a. 3(x + 5) = 3x + 15

b. 2x(x – 2) = 2x² – 4x

Apakah kalian sudah paham dengan penjelasan mengenai Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bentuk Aljabar yang sudah diberikan di atas? Coba amati dengan seksama contoh-contoh soal yang diberikan dan pelajari dengan baik langkah-langkah di dalam menyelesaikan soal tersebut. Semoga bisa membantu kalian untuk lebih memahami cara menjawab soal-soal mengenai penjumlahan serta pengurangan pada bentuk aljabar. 

Contoh Soal Cerita Matematika Tentang Kesebangunan

Contoh Soal Cerita Matematika Tentang Kesebangunan – Pada artikel sebelumnya Rumus Matematika Dasar telah memberikan penjelasan kepada kalian mengenai materi yang berkaitan dengan kesebangunan pada bangun datar. Pada artikel yang lain juga telah dibahas tentang bagaimana cara menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan materi tersebut. Tapi perlu kalian ketahui juga bahwasannya soal-soal matematika tentang kesebangunan biasanya juga muncul di dalam bentuk soal cerita. Berikut ini adalah beberapa contoh soal cerita yang bisa kalian coba kerjakan untuk melatih pemahaman materi mengenai kesebangunan bangun datar. Selamat berlatih dan selamat mengerjakan!!

Latihan Soal Cerita Matematika tentang Kesebangunan

Soal 1

Panjang bayangan tiang bendera adalah 12 m. Pada saat yang sama, panjang bayangan Rendra adalah 2m. Apabila tinggi Rendra adalah 150 cm. Maka berapakah tinggi dari tiang bendera tersebut?

Soal 2

Seorang gadis berdiri dengan jarak 2,9 m dari sebuah gedung setinggi 3,5 m. Gadis itu menatap puncak gedung itu dengan pandangan sejauh 2,1 m. Berapakah tinggi dari gadis tersebut?

Soal 3

Sebuah model pesawat panjangnya 40 cm dan lebarnya 32 cm. jika panjang pesawat yang sebenarnya adalah 30 m, berapakah lebar dari pesawat tersebut?

Soal 4

Panjang bayangan tugu karena terkena sinar matahari adalaj 15 m. pada tempat dan saat yang sama, sebuah tongkat yang panjangnya 1,5 m berdiri tegak dan menghasilkan bayangan sepanjang 3 m. tentukanlah tinggi dari tugu tersebut.

Soal 5

Seorang pemuda mencoba menghitung lebar sungai dengan menancapkan sebuah tongkat pada titik B, C, D, dan E seperti terlihat pada gambar diatas sehingga posisi D, C, dan A segaris. Jika A adalah benda yaang berada di seberang sungai, coba tentukanlah lebar dari sungai tersebut.

Soal 6

Sebuah tangga bersandar pada sebuah bangunan dan menyentuh sebuah balok. Jarak bangunan dan kaki tangga adalah 1,5 m. Lebar balok 90 cm, dan tinggi balok 150 cm. berapakah tinggi dari bangunan tersebut?

Soal 7

Panjang bayangan sebuah bangunan dan tiang listrik pada waktu yang bersamaa masing-masing 10 m dan 5 m. jika tinggi tiang listrik adalah 6 m, hitunglah tinggi dari bangunan tersebut!

Soal 8

Sebuah tongkat setinggi 1,5 m berdiri tegak dan mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Pada waktu yang bersamaan, sebuah pohon mempunyai bayangan sepanjang 8 m.

a. buatlah sketsa yang menerangkan keadaan tersebut.

b. hitunglah tinggi dari pohon tersebut.

Itulah beberapa Contoh Soal Cerita Matematika Tentang Kesebangunan yang bisa kalian gunakan untuk berlatih dirumah. Soal tersebut juga bisa digunakan oleh anda para guru untuk diberikan sebagai latihan kompetensi terhadap murid-murid untuk mengukur seberapa jauh pemahaman mereka mengenai materi kesebangunan pada bangun datar. Akhir kata semoga bermanfaat dan selamat belajar.

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 3. Solo : Platinum

Segitiga-Segitiga Yang Kongruen

Jika pada materi sebelumnya Rumus Matematika Dasar menjelaskan materi mengenai Segitiga-Segitiga Yang Sebangun maka untuk kali ini materi tersebut akan dilanjutkan dengan membahas materi seputar Segitiga-Segitiga Yang Kongruen. Di dalam pembahasan materi pada kesempatan ini kita akan bersama-sama mempelajari tentang pengertian, sifat, serta syarat-syarat dari segitiga-segitiga yang kongruen. So, simak dengan baik ulasan materi di bawah ini, ya!

Pengertian Segitiga yang Kongruen

Coba kalian amati dengan baik gambar berikut ini:

Pada gambar tersebut terlihat susunan dari banyak segitiga yang saling berhimpitan. Apabila kita melakukan pergeseran ataupun pemutaran pada salah satu segitiga yang ada di dalam gambar tersebut maka segitiga tersebut akan menempati posisi segitiga yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa segitiga yang satu dengan segitiga yang lain memiliki bentuk yang sama (sebangun) dan memiliki ukuran yang sama. Nah, segitiga-segitiga yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama tersebutlah yang dapat kita sebut sebagai segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun)

Sifat-sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Untuk bisa memahami sifat-sifat dari dua segitiga yang kongruen kalian harus memperhatikan gambar berikut ini:

Karena segitiga-segitiga yang kongruen memiliki bentuk dan ukuran yang sama, maka masing-masing segitiga tersebut apabila diimpitkan akan saling menutupi dengan tepat satu sama lainnya.

Gambar di atas menunjukkan bahwa segitiga PQT dan segitiga QRS kongruen. Perhatikanlah panjang sisi-sisinya. Terlihat bahwa PQ = QT, QT = RS, dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama panjang.

Selanjutnya, perhatikanlah besar sudut dari kedua segitiga tersebut. Tampak terlihat bahwa sudut TPQ = sudut SQR, sudut PQT = QRS, sudut PTQ = sudut QSR sehingga sudut-sudut yang ada pada kedua segitiga tersebut sama besarnya.

Dari uraian tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa dua buah segitiga dapat dikatakan kongruen apabila memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua segitiga dapat dikatakan kongruen apabila memenuhi salah satu dari tiga syarat yang ada di bawah ini:

A. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi)

Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ABC dan ∆DEF memiliki panjang sisi yang sama.

AB = DE maka AB/DE = 1

BC = EF maka BC/EF = 1

AC = DF maka AC/DF = 1

Sehingga diperoleh AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1

Perbandingan nilai yang sesuai untuk tiap-tiap sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun, maka sudut-sudut yang dihasilkan pun akan menjadi sama besar, yaitu:

Sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, sudut C = sudut F

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka dapat disimpulkan bahwa ∆ABC dan ∆DEF kongruen.

B. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut sama besar (sisi, sudut, sisi)

Pada gambar di atas diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan sudut CAB = sudut EDF. Lalu, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan akan tepat berimpitan, sehingga diperoleh:

AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1

Hal ini berarti segitiga ABC dan segitiga DEF sebangun sehingga diperoleh:

Sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, sudut C = sudut F

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka dapat kita simpulkan bahwa ∆ABC dan ∆DEF tersebut kongruen.

C. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut)

Pada gambar di atas segitiga ABC dan DEF memiliki sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, sudut A = sudut D, dan sudut B = sudut E. Karena sudut A = sudut D, dan sudut B = sudut E maka sudut C = sudut F. Jadi ∆ABC dan ∆DEF bersifat sebangun dan memiliki perbandingan yang senilai, yaitu:

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Karena AD/BE = 1 maka BC/EF = AC/DF = 1

AC = DF dan BC = EF dengan demikian sudah bisa dipastikan bahwa kedua segitiga tersebut kongruen.

Demikianlah penjelasan yang cukup panjang mengenai Segitiga-Segitiga Yang Kongruen. Semoga tulisan ini dapat membantu kalian dalam memahami pengertian, sifat, serta syarat-syarat dari segitiga-segitiga yang kongruen.

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 3. Solo : Platinum

Model Matematika "Program Linear" - Contoh Soal & Pembahasan

Model matematika suatu program linear yang disertai dengan contoh soal dan jawabannya, sebelum masuk kecontoh soal kita akan bahas dulu apa itu model matematika ? pertidaksamaan  linear dapat kita gunakan untuk memecahkan permasalan yang kita hadapi setiap hari. yup, benar memodelkan masalah tersebut menjadi model matematika. walaupun tidak semua masalah dapat dimodelkan dalam bentuk matematika

Buku Matematika Kelas 9 Kurikulum 2013 Edisi 2015

Buku matematika kelas 9 kurikulum 2013 edisi tahun 2015 ada 3 macam buku soft copy yang terdiri dari buku pegangan untuk guru, buku pegangan untuk siswa semester 1 dan semester 2. dalam bukupegangan untuk guru didalam kata pengantarnya tertuliskan bahwa matematika merupakan bahasa universal dan dengan matematika akan menjadi hal yang mudah untuk membandingkan kemampuan siswa dari satu negara

Segitiga-segitiga yang Sebangun

Segitiga-segitiga yang Sebangun – Apabila di dalam pembahasan materi sebelumnya kita telah mempelajari mengenai kesebangunan pada bangun datar, maka pada pembahasan kali ini kita akan lebih fokus di dalam membahas materi tentang kesebangunan pada segitiga. Di sini Rumus Matematika Dasar akan menjelaskan syarat dari segitiga-segitiga yang sebangun serta aplikasinya. Oleh karenanya, simak dengan baik pembahasan yang ada di bawah ini:

Syarat Segitiga-Segitiga yang Sebangun

Coba kalian amati dengan baik kedua gambar segitiga di bawah ini:

Pada segitiga ABC dan DEF di atas, perbandingan antara sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut dapat diuraikan menjadi sebagai berikut:

DE/AB= 4/8 = 1/2

EF/BC = 3/6 = 1/2

DF/AC = 5/10 = 1/2

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1/2

Apabila kalian melakukan pengukuran pada sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut maka kalian akan menemukan bahwa sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, dan sudut C = sudut F.

Jadi, kesebangunan dari dua buah segitiga dapat kita ketahui dengan mencari atau membuktikan bahwa perbandingan antara panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki nilai yang sama.

Sekarang coba perhatikan gambar segitiga siku-siku yang ada di bawah ini:

Pada segitiga siku-siku ABC dan DEF di atas, kita dapat melihat bahwa sudut A = sudut D yaitu 90⁰

Sedangkan sudut B = sudut E yaitu 60⁰. Oleh karenanya, kita dapat menghitung sudut C dan sudut F dengan melakukan perhitungan:

Sudut C = sudut F = 180⁰– 90⁰ - 60⁰ = 30⁰

Jika kalian melakukan pengukuran terhadap panjang sisi-sisi yang ada pada kedua segitiga tersebut, maka hasil perbandingannya akan menjadi:

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Karena pada segitiga siku-siku ABC dan DEF panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki nilai yang sama dan sudut-sudut yang bersesuaiannya juga memiliki ukuran yang sama besar maka dapat disimpulkan bahwa segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF.

Maka, dapat kita simpulkan bahwa kesebangunan dari dua buah segitiga dapat diketahui dengan cara menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian diantara dua buah segitiga tersebut memiliki nilai yang sama besar. Sehingga, syarat agar dua buah segitiga dapat dikatakan sebangun adalah:

1. Perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai

2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.

Demikianlah penjelasan materi tentang Segitiga-segitiga yang Sebangun  dan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dua buah segitiga dapat dikatakan sebangun. Semoga kalian dapat memahaminya dengan baik, dan apabila ada kesulitan di dalam memahami penjelasan di atas kalian bisa menanyakannya pada orang tua ataupun guru di sekolah. Atau kalian juga boleh menyampaikannya pada kolom komentar yang ada di bawah postingan ini. Sampai jumpa lagi pada pmbahasan materi pelajaran matematika selanjutnya.

Simak juga artikel tentang Segitiga-segitiga yang Kongruen

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 3. Solo : Platinum

Contoh Soal Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar dan Penyelesaiannya

Rumus Matematika Dasar sudah pernah memberikan ulasan materi mengenai Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar Matematika. Nah, untuk memperdalam pemahaman kalian mengenai materi tersebut, di sini kami akan memberikan beberapa contoh soal yang bias kalian gunakan untuk berlatih di rumah. Pada masing-masing soal akan diberikan penjelasan mengenai bagaimana cara menyelesaikannya. Namun untuk beberapa soal-soal yang lain kalian harus mengerjakannya sendiri atau bisa juga sambil didampingi oleh orangtua atau kakak kalian agar bisa bertanya apabila menjumpai kesulitan dalam memahami cara penyelelesaian soal yang diberikan. Yuk, mari langsung saja kita simak contoh persoalan yang pertama:

Contoh Soal Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

Contoh Soal 1:

Perhatikan gambar dua buah belah ketupat di bawah ini, apakah kedua bangun tersebut dapat dinyatakan kongruen?

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal tersebut, kalian harus mengingat kembali akan sifat-sifat bangun datar yang dimiliki oleh belah ketupat, yaitu:

a. Semua sisi sama panjang dan sepasang-sepasang sejajar.

b. sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan terbagi dua sama besar.

Pada belah ketupat ABCD diatas, diketahui bahwa AB = BC = CD = AD = 6 cm,

Sudut A = sudut C = 40⁰, dan sudut B = sudut D = 140⁰(sudut-sudut yang berhadapan)

Pada belah ketupat EFGH diatas, diketahui bahwa EF = FG = GH = EH = 6 cm,

Sudut E = sudut G = 40⁰, dan sudut F = sudut H = 140⁰

Dari uraian tersebut dapat diperoleh:

AB/EF = BC/FG = CD/GF = AD=EH = 1

sudut A = sudut C = Sudut E = sudut G = 40⁰

sudut B = sudut D = sudut F = sudut H = 140⁰

Karena sisi-sisinya yang bersesuaian memiliki ukuran sama panjang serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besarnya, maka bangun ABCD dan EFGH bisa dikatakan kongruen.

Contoh Soal 2:

Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini:

Apakah layang-layang ABCD dan EFGH sebangun?

Penyelesaian:

Layang-layang mempunyai sepasang sudut berhadapan yang sama besar. Sifat tersebut dapat kita gunakan untuk mencari sudut-sudut yang belum diketahui besarnya pada sebuah laying-layang.

Untuk layang-layang ABCD:

Sudut D = Sudut B = 110⁰  dan sudut A = 60⁰

maka sudut C = 360⁰ – (110 + 110 + 80) ⁰ = 80⁰

Untuk layang-layang EFGH:

Sudut H = Sudut F = 110⁰  dan sudut G = 80⁰

maka sudut E = 360⁰ – (110 + 110 + 80) ⁰ = 60⁰

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan bahwa:

Sudut A = sudut E, sudut B = sudut F, sudut C = sudut G, dan sudut D = sudut H. dan ternyata sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua laying-layang tersebut sama besar.

Untuk layang-layang ABCD, diketahui bahwa CD = BC = 6 cm dan AB = AD = 9 cm

Untuk layang-layang EFGH, diketahui bahwa GH = FG = 4 cm dan EH = EF = 6 cm

Sehingga dapat diperoleh:

BC/FG = DC/GH = 6/4 = 3/2

AD/EH = AB/EF = 9/6 = 3/2

Karena sudut-sudutnya sama besar dan perbandingan sisi-sisinya bersesuaian maka dapat kita simpulkan bahwa laying-layang ABCD bersifat sebangun dengan EFGH.

Jika kalian sudah paham dengan penjelasan soal di atas, sekarang saatnya kalian berlatih untuk mengerjakan soal-soal di bawah ini:

Soal Latihan 1:

Perhatikan gambar berikut:

Apakah trapesium ABCD dan trapesium EFGH sebangun? Jelaskan jawabanmu!

Soal Latihan 2:

a. Apakah persegi panjang KLMN sebangun dengan persegi panjang PQRS?

b. Apakah persegi panjang KLMN kongruen dengan persegi panjang PQRS?

Soal Latihan 3: 

Diantara bangun-bangun berikut, manakah yang sudah pasti sebangun?

a. dua persegi

b. dua segitiga samakaki

c. dua segitiga sama sisi

d. dua segitiga siku-siku

e. dua belah ketupat

f. dua segienam beraturan

g. dua lingkaran

h. dua layang-layang

Nah, itulah beberapa Contoh Soal Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar yang bisa kalian coba kerjakan untuk menguji kemampuan kalian mengenai materi tersebut. Teruslah berlatih dan tetap semangat belajar agar kalian mampu mengerjakan soal-soal mengenai kesebangunan dan kekongruenan bangun datar dengan bentuk-bentuk yang lain. Terimakasih telah menyimak materi ini sampai akhir, sampai jumpa lagi.