Logaritma, Operasi Hitung Logaritma dan Persamaan Logaritma

Konsep Logaritma

Logaritma merupakan bentuk kebalikan dari pangkat. Jika 3² = 9 maka ³log 9 = 2. Jika bentuk 2⁵ = 32 maka ²log 32 = 5. Dari contoh diatas kitadapat mengetahui hal-hal berikut.

Jika 3ⁿ = 9 maka nilai n = 2 dan Jika 2^m = 32 maka nilai m = 5.

Nah, bagaimana jika terdapat bentuk seperti ini.

Jika 5^m = 12, tentukan nilai m

Jika 3ⁿ = 10, tentukan nilai n.

Ternyata tidak ada bilangan bulat pengganti m dan n pada permasalahan di atas bukan?

Untuk menyelesaikannya, maka digunakan konsep logaritma.

Dari kedua soal di atas, maka diperoleh nilai m dan n sebagai berikut.

Jika 5^m = 12, maka nilai m = ⁵log 12

Jika 3ⁿ = 10, maka nilai n = ³log 10

Dengan permasalahan inilah maka muncul materi tentang logaritma.

  a^c = b maka  ^alog b = c

Bentuk umum logarima  adalah adengan ^alog b disebut dengan basis (a > 0 dan b tidak sama dengan 0), dengan a disebut bilangan pokok, b disebut dengan numerus, dan c disebut dengan hasil logaritma. Khusus untuk logaritma dengan basis 10, basisnya tidak dituliskan, cukup dengan menggunakan log.

Contoh:

¹⁰log 25 cukup ditulis log 25

¹⁰log 120 cukup ditulis log 120

Sifat-Sifat Logaritma

     Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, berlaku:

^plog a = n maka pⁿ = a

dengan a > 0, p > 0, dan p ¹ 1

Sifat-sifat logaritma

1.  ^alogb = log b / log a

2.  ^aloga = 1

3.  ^ploga · ^alogq = ^plogq

5.  ^plog (ab) = ^plog a + ^plog b        

6.  ^plog (a/b) = ^plog a – ^plog b

7.  ^alog aⁿ = n                       

8.  ^ploga1 = 0

9.  ^plog aⁿ = n · ^plog a

10.  ^pnlog a^m = m/n · ^plog a

11. ^ploga = ^pnlog  aⁿ

12.  p ^{plog a} = a          

Selanjutnya mari melakukan operasi hitung tantang logaritma berikut ini.

Contoh 1

Tentukan hasil dari:

a.  ²log 16

b.  ³log 81

c.   ⁵log 625

d.  ²log 0,125

e.  ⁵log 0,0016

Jawaban:

a.  ²log 16 = ²log 2⁴ = 4 ²log 2 = 4

b.  ³log 81 = ³log 3⁴ = 4 ³log 3 = 4

c.   ⁵log 625 = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3

d.  ²log 0,125 = ²log (1/8) =  ²log 2^-3 = -3 ²log 2 = -3

e.  ⁵log 0,0016 = ⁵log (1/625) = ⁵log 5⁴ = 4 ⁵log 5 = 4

Contoh 2

Tentukan hasil dari:

a.  ²log 20 – ²log 5

b.  ³log 12 + ³log 45 – ³log 20    

c.   ⁵log 30 + ⁵log 75 –  ⁵log 18  

d.  ²log 3 . ³log 60 + ²log 24 – ²log 15 

e.  ⁵log 75 + ⁵log 4. ⁴log 20 – ⁵log 12 

Jawaban:

a.  ²log 20 – ²log 5 = ²log (20/5)

                   = ²log 4 = ²log 2² = 2 . ²log 2 = 2

b.  ³log 12 + ³log 45 – ³log 20 = ³log (12 x 45 / 20)

                                    = ³log 27 = ³log 3³= 3 ³log 3 = 3

c.   ⁵log 30 + ⁵log 75 –  ⁵log 18 = ⁵log (30 x 75 / 18)

                                     = ⁵log 125 = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3    

d.  ²log 3 . ³log 60 + ²log 24 – ²log 15 

    = ²log 60 + ²log 24 – ²log 45

    = ²log (60 x 24 / 45)

    = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5 ²log 2 = 5

e.  ⁵log 75 + ⁵log 4. ⁴log 20 – ⁵log 12

   = ⁵log 75 + ⁵log 20 – ⁵log 12

   = ⁵log (75 x 20 / 12)

   = ⁵log 125

   = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3

Contoh 3

Diketahui ²log 3 = a, ²log 5 = b, ²log 7 = c. Tentukan hasil dari:

a.  ²log 30

b.  ²log 70

c.   ³log 18

d.  ³log 120

e.  ⁵log 180

Jawaban:

Dari keterangan di atas diperoleh nilai yang lain sebagai berikut.

²log 3 = a, maka ³log 2 = 1/a

²log 5 = b, maka ⁵log 2 = 1/b

²log 7 = c, maka ⁷log 2 = 1/c

³log 5 = b/a

⁵log 7 = c/b

³log 7 = c/a

a.  ²log 30 = ²log (2 x 3 x 5)

                 = ²log 2 + ²log 3 + ²log 5

                 = 1 + a + b

b.  ²log 70 = ²log (2 x 5 x 7)

                  = ²log 2 + ²log 5 + ²log 7

                  = 1 + b + c

c.   ³log 18 = ³log (2 x 3 x 3)

                  = ³log 2 + ³log 3 + ³log 3

                 = 1/a  + 1 + 1

                 = 2 + 1/a

d.  ³log 120 = ³log (2³ x 3 x 5)

                  = ³log 2³+ ³log 3 + ³log 5

                  = 3 ³log 2 + 1 + (²log 5 / ²log 3)

                  = 3 1/a + 1 + b/a

                  = 3/a + 1 + b/a

                  = 1/a (3 + a + b)

e.  ⁵log 180 = ⁵log ( 2² x 3² x 5)

                    = ⁵log 2² + ⁵log 3² + ⁵log 5

                   = 2 ⁵log 2 + 2 ⁵log 3 + ⁵log 5

                   = 2 . 1/b + 2 . a/b + 1

                   = 2/b + 2a/b + 1

Persamaan Logaritma

Jika kita mempunyai fungsi f(x) sedemikian hingga dalam logaritma mempunyai numerus suatu fungsi f(x) maka persamaan logaritma dapat dituliskan sebagai berikut.

  ^alog f(x) = c

dengan a > 0 dan f(x) > 0

Beberapa sifat logaritma yang digunakanuntuk menyelesaikan persamaan logaritma.

1.    Jika ^alog f(x) = ^alog c, maka f(x) = c

2.    Jika ^alog f(x) = ^alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x)>0 dan g(x)>0

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.

a.  ²log (2x + 3) = ²log 9

b.  ³log (x² + 3x - 2) = ³log 8

c.   ²log (5x - 2) = 4

d.  ³log (x² + x - 3) = 2

Jawaban:

a.  ²log (2x + 3) = ²log 9

              2x + 3 = 9

                    2x = 9 – 3

                   2x = 6

                    x = 3

b.  ³log (x² + 3x – 2) = ³log 8

               x² + 3x – 2 = 8

            x² + 3x – 10 = 0

          (x – 2)(x + 5) = 0

            x = 2 atau x = -5

c.   ²log (5x – 2) = 4

²log (5x – 4) = ²log 4²

²log (5x – 4) = ²log 16

         5x – 4 = 16

               5x = 16 + 4

               5x = 20

                 x = 20/5 = 4

d.  ³log (x² + x – 3) = 2

    ³log (x² + x – 3) = ³log 3^{2 
    3}log (x² + x – 3) = ³log 9

               x² + x – 3 = 9

            x²+ x – 12 = 0

         (x + 4)(x – 3) = 0

       x = –4 atau x = 3

Contoh 5

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.

a.  ²log (2x + 3) = ²log (x + 5)

b.  ³log (x² – 3x - 2) = ³log (2x – 4)

c.   ⁵log (2x² + 6x - 5) = ⁵log (x² + x + 1)

Jawaban:

a.  ²log (2x + 3) = ²log (x + 5)

   2x + 3 = x + 5

   2x – x = 5 – 3

         x  = 2

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = 2 pada kedua fungsi.

f(x) = 2x + 3, maka f(2) = 2(2) + 3 = 7 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x + 5, maka g(2) = 2 + 5 = 7 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

b.  ³log (x² – 3x + 2) = ³log (2x + 8)

             x² – 3x + 2 = 2x + 8

             x² – 5x – 6 = 0

         (x + 1)(x – 6) = 0

         x = -1 atau x = 6

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -1 dan x = 6 pada kedua fungsi.

Untuk x = -1

f(x) = x² – 3x + 2, maka f(-1) = (-1)² – 3(-1) + 2 = 6 > 0 (terpenuhi)

g(x) = 2x + 8, maka g(-1) = 2(-1) + 8 = 6 > 0 (terpenuhi)

Untuk x = 6

f(x) = x² – 3x + 2, maka f(6) = (6)² – 3(6) + 2 = 20 > 0 (terpenuhi)

g(x) = 2x + 8, maka g(6) = 2(6) + 8 = 20 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -1 atau x = 6.

c.   ⁵log (2x² + 6x - 5) = ⁵log (x² + x + 1)

              2x² + 6x - 5 = x²+ x + 1

               x² + 5x - 6 = 0

           (x + 6)(x - 1) = 0

           x = -6 atau x = 1

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -6 atau x = 1 pada kedua fungsi.

Untuk x = -6

f(x) = 2x² + 6x - 5, maka f(-6) = 2(-6)²+ 6(-6) – 5 = 31 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x² + x + 1, maka g(-6) = (-6)² + (-6) + 1 = 31 > 0 (terpenuhi)

Untuk x = 1

f(x) = 2x² + 6x - 5, maka f(1) = 2(1)² + 6(1) – 5 = 3 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x² + x + 1, maka g(1) = 1² + 1 + 1 = 3 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6 atau x = 1.

Demikianlah sedikit penjelasan tentang logaritma dan penyelesaian persamaan logaritma.

Semoga bermanfaat.

Pengertian Program Linear dan Model Matematika SMA Kelas 11

Pengertian Program Linear dan Model Matematika - Untuk postingan kali ini, materi yang akan dibahas oleh Rumus Matematika Dasar adalah mengenai Program Linear dan Model Matematika. Program linear atau biasa disenut juga sebagai optimasi linear merupakan suatu program yang bisa dipakai untuk memecahkan masalah mengenai optimasi. Di dalam masalah optimasi linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa kita terjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai peubah yang memenuhi suatu system pertidaksamaan linear berada pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai beragam kemungkinan penyelesaian. Dari beragami kemungkinan penyelesaian tersebut terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil paling baik (penyelesaian optimum). Jadi dapat disimpulkan bahwa tujuan dari masalah optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan (memaksimalkan atau meminimumkan) sebuah fungsi f. Fungsi f ini disebut dengan fungsi sasaran, fungsi tujuan, atau fungsi objektif.

Masalah optimasi linear seperti yang telah dijelaskan di atas banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang ekonomi, dan bidang-bidang lainnya yang termasuk ke dalam kajian riset operasional.

Pengertian Model Matematika

Sudah dijelaskan di atas bahwa dalam memecahkan masalah program linear kita harus bisa menerjemahkan terlebih dahulu mengenai kendala-kendala yang terdapat di dalam masalah program linear ke dalam bentuk perumusan matematika. Proses tersebut adalah yang dinamakan dengan model matematika. Model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu rumusan matematika yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program linear ke dalam Bahasa matematika. Suatu model matematika dikatakan baik apabila di dalam model tersebut hanya memuat bagian-bagian yang diperlukan saja.

Untuk memahaminya dengan lebih mudah, perhatikan beberapa contoh pembuatan model matematika di bawah ini:

Contoh Soal Model Matematika dan Pembahasannya

Contoh 1 :

Mas Bejo membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di suatu toko buku. Untuk itu Mas Bejo harus membayar Rp.6.900. Sedangkan Bang Jarwo hanya membeli 1 buah buku tulis dan 1 buah pensil dengan harga Rp.1.050. apabila harga dari sebuah buku rupiah dan sebuah pensil dinyatakan dengan x dan y, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Mas Bejo, didapat hubungan:

6x + 8y = 6.900

Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Bang Jarwo, didapat hubungan:

x+ y = 1.050

Maka model matematikanya adalah:

 6x + 8y = 6.900 dan

   x +   y = 1.050 dengan x dan y ε C

Contoh 2:

Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a.) Jumlah nilai Matematika dan Fisika tidak boleh kurang dari 12

b.) Nilai masing-masing pada pelajaran tersebut tidak boleh kurang dari 5

Buatlah model matematika yang bisa digunakan sebagai patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA!

Jawab:

Kita misalkan nilai matematika = x dan nilai fisika = y , maka dari syarat a.) diperoleh hubungan:

x + y ≥ 12

Dan dari syarat b.) diperoleh hubungan:

x ≥ 5 dan y ≥ 5

maka, model matematika yang dapat digunakan untuk patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA adalah:

x ≥ 5 dan y ≥ 5, dan  x + y ≥ 12 ε C

Contoh 3:

Sebuah lahan parker hanya dapat menampung 200 mobil sedan. Apabila tempat tersebut digunakan untuk memarkir Bis, maka 1 Bis akan menempati luas yang sama dengan 5 buah mobil sedan. Apabila di lahan tersebut diparkir x Bis dan y Sedan, tentukanlah model matematikanya!

Jawab:

Misalkan untuk memarkir sebuah mobil sedan diperlukan luas rata-rata L m², maka luas lahan parker yang tersedia adalah 200L m²(L > 0).

Untuk memarkir sebuah Bis diperlukan lahan seluas 5L m² , Sehingga untuk memarkir x Bis dan y Sedan diperoleh hubungan:

(5L)x + (L)y ≤ 200

5x + y ≤ 200

Karena banyajnya mobil Bis dan Sedan tidak mungkin negatif, sehingga:

x ≥ 0 dan y ≥ 0

sehingga model matematika untuk persoalan di atas adalah:

x ≥ 0 , y ≥ 0 dan 5x + y ≤ 200, dengan x dan y

Demikianlah pembahasan materi Pengertian Program Linear dan Model Matematika serta beberapa contoh soal serta pembahasannya. Semoga kalian semua bisa memahami dan mengerti materi ini dengan baik. Untuk materi selanjutnya akan dibahas mengenai Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika dari Suatu Program Linear.