Matriks, Operasi Matriks, Determinan dan Invers Matriks

A.  Matriks

Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.

Contoh bentuk matriks: 

Matriks A terdiri atas 3 baris dan 4 kolom. Matriks A dikatakan berordo 3 × 4 dan matriks tersebut dituliskan dengan notasi  A_{3 × 4}

B. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika:

1) ordo matriks A sama dengan ordo matriks B,

2) semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama.

Contoh:

 Matriks ini setara jika nilai x = -3 dan y = 1

C. Operasi Hitung pada Matriks

1) Penjumlahan atau pengurangan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau pengurangkan elemen yang seletak.

Contoh:

2) Perkalian skalar dengan matriks dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan suatu konstanta.

Contoh:

3) Perkalian dua matriks

Dua matriks dapat dikalikan jika banyak baris pada matriks pertama sama dengan banyak kolom pada matriks kedua.

Contoh:

D. Transpos Matriks

Transpos matriks A ditulis A^t  merupakan suatu matriks yang disusun dengan proses berikut.

1) Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks A^t

2) Baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks A^t

3) Baris ketiga matriks A menjadi kolom ketiga matriks A^t, . . . demikian seterusnya.

Contoh:

E. Determinan dan Invers Matriks.

 Dalam menentukan determinan dan invers matriks dapat ditentukan seperti berikut.

Berikut ini contoh soal dan pembahasan mengenai operasi hitung matriks, kesetaraan/kesamaan matriks, determinan dan invers matriks.

Selamat belajar.

Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers (2)

Invers Fungsi dan Fungsi Invers

Jika kita mempunyai fungsi f(x) yang memetakan dari x ke y, maka dapat dituliskan sebagai y = f(x). Namun sebaliknya, jika terdapat suatu fungsi yang memetakan y ke x sehingga ditulis x = f^-1(y), maka fungsi ini dinamakan invers fungsi dari fungsi f(x). Invers fungsi f(x) ini dituliskan dalam bentuk f^-1(x).

 

Perhatikan contoh berikut untuk menjelaskan pengertian invers fungsi di atas.

Misalkan terdapat fungsi f(x) = 2x + 1, untuk domain {0, 1, 2, 3}

Sehingga diperoleh:

f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 5, dan f(3) = 7

Untuk sebaliknya, invers fungsinya dapat digambarkan sebagai berikut.

f^-1(1) = 0, f^-1(3) = 1, f^-1(5) = 2, dan f^-1(7) = 3

Dari Bentuk pemetaan di atas, bagaimana kita menentukan rumus fungsi inversnya?

Langkah-langkah menentukan invers fungsi  f(x)

1.Jika kita mempunyai fungsi f(x), nyatakan dulu ke dalam bentuk y sama dengan fungsi x.        

   Misalkan jika kita mempunyai fungsi f(x)=5x + 10, jadikan dahulu y = 5x + 10.

2. Kita ubah bentuk pada hasil 1) menjadi bentuk x dalam fungsi y.

3. Mengubah x menjadi f^-1(y)

4. Dengan keidentikan bentuk aljabar,ubahlah y menjadi x.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan berapa contoh berikut.

Contoh 1

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 12. Tentukan invers fungsi tersebut.

Jawaban:

f(x) = 2x + 12

   y = 2x + 12

2x = y -12

  x = (y - 12 )/2

  x = y/2 - 6

f^-1(y) = y/2 - 6

f^-1(x) = x/2 - 6

Jadi, invers fungsi dari f(x) = 2x + 12 adalah f^-1(x) =  x/2 - 6.

Contoh 2

Diketahui fungsi f(x) = 5x - 6. Tentukan invers fungsi tersebut.

Jawaban:

f(x) = 5x - 6

   y = 5x - 6

5x = y + 6

  x = (y + 6 )/5

  x = y/5 + 6/5

f^-1(y) = y/5 + 6/5

f^-1(x) = x/5 + 6/5

Jadi, invers fungsi dari f(x) = 5x - 6 adalah f^-1(x) = x/5 + 6/5.

Berikut ini diberikan contoh menentukan invers fungsi dari bentuk kuadrat dan akar.
Perhatikan langkah-langkahnya secara cermat.

 

 
Bagaimana menentukan Invers fungsi bentuk pecahan aljabar?
Langkah-langkah menentukan invers fungsi pecahan bentuk aljabar sama seperti langkah-langkah di atas.
Simaklah langkah-langkah berikut.

 Perhatikan lagi yang ini.

Nah, bagaimana, sudah jelas Kan?
Selamat belajar.

Materi berkaitan
Fungsi dan Komposisi Fungsi

Pengertian Diagram Venn, Contoh Soal Dan Pembahasannya

Pengertian diagram venn - di dalam materi yang dijelaskan oleh Rumus Matematika Dasar mengenai Himpunansebenarnya telah sedikit dibahas mengenai diagram venn. Namun bagi kalian yang belum memahami apa yang dimaksud dengan diagram venn, tidak adasalahnya bila membaca materi yang akan dibahas kali ini yaitu mengenai pengertian diagram venn. Diagram venn adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan menggunakan gambar. Cara ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang berasal dari inggris. Matematikawan tersebut adalah john venn. Diagram venn dapat diartikan sebagai sebuah diagram yang didalamnya terdapat seluruh kemungkinan hubungan logika serta hipotesis dari sebuah himpunan benda ataupun objek. Berikut adalah contoh dari gambar diagram venn.

Sebuah diagram ven terdiri dari beberapa unsur. Seperti dapat kalian amati pada gambar di atas, bagian persegi panjang yang ada di bagian luar merupakan bagian yang disebut sebagai himpunan semesta. Sementara lingkaran yang ada di dalam persegi tersebut menyatakan himpunan dengan titik-titik yang menjelaskan tiap-tiap anggota dari himpunan tersebut. Agar kalian lebih mudah dalam memahaminya, coba perhatikan dengan baik uraian di bawah ini:

Diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {6, 7, 8}

Dari data di atas, himpunan S merupakan himpunan semesta. Di dalam diagram venn, himpunan semesta biasanya dituliskan dengan menggunakan simbol huruf S yang diletakkan di pojok kiri atas.

Sekarang amati himpunan A dan B. Anggota di dalam kedua himpunan tersebut tidak ada yang sama atau tidak ada anggota persekutuan. Sehingga, kedua himpunan tersebut dapat disebut sebagai himpunan yang saling lepas. Oleh sebab itu, gambar kurva (lingkaran) dari kedua himpunan tersebut harus digambarkan terpisah di dalam persegi panjang.

Kemudian, setelah itu barulah kita bisa memasukkan anggota dari masing masing himpunan A dan B ke dalam lingkaran-lingkaran tersebut. Sementara anggota dari himpunan S yang tidak terdapat diantara himpunan A maupun B bisa dituliskan di bagian luar dari lingkaran-lingkaran tersebut. Sehingga menghasilkan diagram venn seperti di bawah ini:

Contoh Soal Dan Pembahasan Materi Diagram Venn SMP Kelas 7

Contoh Soal:

Diketahui himpunan semesta S = {bilangan genap kurang dari 10}, himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {2, 4, 6}. Nyatakan data tersebut dengan diagram venn.

Pembahasan:

Diketahui:

S = {2, 4, 6, 8}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6}

Pertama kita gambar dulu persegi, kemudian tuliskan huruf S di sisi kiri atas. Karena himpunan A dan B saling berpotongan A^B = {2, 4} maka kita gambar dua buah lingkaran yang saling berpotongan. Sehingga hasil diagramnya sebagai berikut:

Demikianlah pembahasan materi Pengertian Diagram Venn, Contoh Soal Dan Pembahasannya . Semoga kalian dapat menyerap ilmu yang diajarkan pada materi di atas dengan baik. Mohon maaf apabila di dalam penyampaian materi ini terjadi kesalahan di dalam penulisan kata ataupun angka serta data. Semoga bermanfaat.