Fungsi, Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers (1)

A. Fungsi

Fungsi, atau disebut juga pemetaan, merupakan sebuah relasi yang khusus. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A, dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan dengan anggota himpunan B. Jadi, fungi sudah pasti sebuah relasi, tetapi relasi belum tentu sebuah fungsi.

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan xanggota A ke yanggota B, maka fungsi fdapat dinotasikan sebagai berikut:
 

 

Jika x anggota himpunan A dan y anggota himpunan B, serta fungsi f  memetakan x ke y, maka y merupakan peta/bayangan dari x. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut daerah asal atau domain (D_f), himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain (K_f), sedangkan himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil atau range(R_f).

Jenis-jenis fungsi dan macam-macam fungsi sebenarnya ada banyak, misalkan fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi genap dan fungsi ganjil, fungsi modulus, fungsi eksponen, fungsi logaritma, maupun fungsi tangga. Namun pada kesempatan ini kita tidak membahas jenis-jenis fungsi tersebut. Di sini akan fokus membahas pada fungsi komposisi dan fungsi invers.

B. Fungsi Komposisi

Aljabar Fungsi
Sebelum membahas komposisi fungsi, mari mengulang lagi tentang sifat-sifat fungsi aljabar.
Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi aljabar yang terdefinisi, maka berlaku sifat-sifat fungsi aljabar berikut.
1. (f + g)(x) =  f(x) + g(x)
2. (f - g)(x) =  f(x) - g(x)
3. (f . g)(x) =  f(x) . g(x)
4. (f /g)(x) =  f(x) / g(x) , g(x) tidak sama dengan 0 
5. fⁿ(x) = [f(x)]ⁿ

Contoh 1
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = x² - 2, dan h(x) = 4x.
Tentukan 
a. (f +g)(x)
b. (f - g)(x)
c. f.g(x), dan 
d. (f/g)(x).

Jawaban:
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
                   = (2x + 1)  +  (x² - 2)
                   = x² + 2x - 1
b.  (f - g)(x) = f(x) - g(x)
                   = (2x + 1)  -  (x² - 2)
                   = -x² + 2x + 3
c.  f.g(x) = f(x) . g(x)
              = (2x + 1) (x² - 2)
              = 2x³ - 4x + x² - 2
              = 2x³ + x² - 4x - 2
d.   f/g(x) = f(x)/g(x)
                = (2x + 1)/(x² - 2)



Komposisi Fungsi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi hdari A ke C  disebut fungsi komposisi. 

Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan h(x) = g o f (x) (dibaca: g bundaran f)

Secara grafik, komposisi fungsi di atas digambarkan seperti berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 2

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) = 2x + 1.

Tentukan:

    a.      (f o g)(x)

    b.      (g o f)(x)

    c.      (f o g)(2)

    d.      (g o f)(6)

Jawaban:

  a. (f o g)(x) = f (g(x))                     = 3 g(x) - 5
                     = 3(2x + 1) - 5
                     = 6x + 3 - 5
                     = 6x - 2

b. (g o f)(x) = g (f(x))
                    = 2 f(x) + 1
                    = 2(3x - 5) + 1
                    = 6x - 10 + 1
                    = 6x - 9

c. (f o g)(x) = 6x - 2
    (f o g)(2) = 6 x 2 - 2
                    = 12 - 2
                    = 10

d. (g o f)(x) = 6x -9
    (g o f)(6) = 6 x 6 - 9
                    = 36 - 9
                    = 27     

Contoh 3
Diketahui f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x² + 2x - 1
Tentukan:
  a.      (f o g)(x)

    b.      (g o f)(x)

    c.      (f o g)(2)

    d.      (g o f)(-3)

Jawaban:
 a.      (f o g)(x) = f ((gx))
                         = 3 g(x) + 2
                         = 3 (x² + 2x - 1) + 2
                         = 3x² + 6x - 3 + 2
                         = 3x² + 6x - 1

 b.      (g o f)(x) = g(f(x))
                         = (f(x))² + 2(f(x)) - 1
                         = (3x + 2)² + 2(3x + 2) - 1
                         =  9x² + 14x + 4 + 6x + 4 - 1
                         =  9x² + 20x + 7

 c.      (f o g)(2) = 3. 2² + 6.2 - 1
                          = 12 + 12 - 1
                          = 23

 d.      (g o f)(-3) =  9(-3)² + 20(-3) + 7
                           = 81 - 60 + 7
                           = 28

Sekarang bagaimana jika menentukan fungsi yang di depan atau di belakang dari komposisi fungsi yang diketahui dan salah satu fungsi pembentuknya juga diketahui?
Misalkan f o g(x) diketahui dan f(x) diketahui, bagaimana menentukan g(x)?
atau
Misalkan f o g(x) diketahui dan g(x) diketahui, bagaimana menentukan f(x)?

Mari kita bahas dengan beberapa contoh berikut.

Contoh 4
Diketahui (f o g)(x) = 6x + 7 dan f(x) = 2x + 3. Tentukan fungsi g(x).

Jawaban:
Caranya, substitusikan g(x)  ke dalam f(x) sehingga diperoleh bentuk berikut.
(f o g)(x) = 6x + 7 atau ditulis:
f(g(x)) = 6x + 7
2.g(x) + 3 = 6x + 7
      2.g(x) = 6x + 7 - 3
      2.g(x) = 6x + 4
         g(x) = (6x + 4) /2
         g(x) = 3x + 2 
Jadi, fungsi g(x) = 3x + 2


Contoh 5
Diketahui (f o g)(x) = 3x + 2 dan g(x) = x + 5. Tentukan fungsi f(x).

Jawaban:
Caranya, dengan memisalkan t = g(x), sehingga di tulis:
t = x + 5, kemudian nyatakan x dalam t menjadi x = t - 5.
Dengan demikian diperoleh bentuk baru seperti berikut.
f (g(x)) = 3x + 2
substitusikan (gantilah) g(x) dengan t dan gantilah x dengan t - 5.
f(t) = 3(t - 5) + 2
     = 3t - 15 + 2
     = 3t - 13
Kembalikan lagi ke fungsi dalam x yaitu f(x) .
f(x) = 3x - 13
 Jadi, fungsi f(x) = 3x - 13


Contoh 6
Diketahui (f o g)(x) = 6x² + 2x - 1 dan f(x) = 2x + 1. Tentukan fungsi g(x).

Jawaban:
Caranya, substitusikan g(x)  ke dalam f(x) sehingga diperoleh bentuk berikut.
(f o g)(x) = 6x² + 2x - 1 atau ditulis:

f(g(x)) = 6x² + 2x - 1.
2.g(x) + 1 = 6x² + 2x - 1
      2.g(x) = 6x² + 2x - 1 - 1
      2.g(x) = 6x² + 2x - 2
         g(x) = (6x² + 2x - 2) /2
         g(x) = 3x² + x - 1
Jadi, fungsi g(x) = 3x² + x - 1


Contoh 7
Diketahui (f o g)(x) = 6x² + 2x + 5 dan g(x) = x + 3. Tentukan fungsi f(x).

Jawaban:
Caranya, dengan memisalkan t = g(x) terlebih dahulu.
Sehingga diperoleh bentuk: t = x + 3 atau dengan membalik bentuk dalam t diperoleh x = t - 3.
Selanjutnya gantilah permasalahan di atas dalam variabel t.

(f o g)(x) = 6x² + 2x + 5
f(g(x)) = 6x² + 2x + 5.
f(t) = 6(t - 3)² + 2(t - 3) + 5
f(t) = 6(t² - 6t + 9) + 2(t - 3) + 5
f(t) = 6t² - 36t + 54 + 2t - 6 + 5

f(t) = 6t² - 36t + 2t + 54 - 6 + 5
f(t) = 6t² - 34t + 53 
Sehingga dengan mengganti t  menjadi x, diperoleh:
f(x) = 6x² - 34x + 53


Jadi, fungsi f(x) = 6x² - 34x + 53.

Itulah sekilas pengetahuan  tentang fungsi dan fungsi komposisi.


Mari kita lanjutkan dengan fungsi invers dan invers fungsi

Pengertian dan Rumus Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu pada Himpunan Matematika

Pengertian dan Rumus Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu - Apakah kalian sudah mempelajari materi yang diberikan Rumus Matematika Dasar tentang Pengertian, Teori, Konsep Dan Jenis Himpunan Matematika ? Di dalam materi pelajaran matematika mengenai himpunan, ada istilah yang disebut sebagai korespondensi satu-satu, apakah itu? kita umpamakan saja absensi di dalam sebuah kelas. setiap siswa di dalam daftar absensi tersebut pasti memiliki urutan dan memiliki nomornya sendiri-sendiri. tidak akan mungkin ada siswa yang memiliki dua buah nomor urut di dalam absensi tersebut. itu adalah contoh sederhana dari korespondensi satu-satu. 

Kita umpamakan saja di dalam kelas ada 5 orang siswa, lalu guru memanggil mereka satu-persatu untuk maju ke depan kelas. Kelima siswa tersebut adalah Dara, Indah, Gilang, Wulan, dan Amir. Kita bisa memisahkan himpunan siswa dengan nomor absennya menjadi seperti berikut ini: B = {Amir, Dara, Gilang, Indah, Wulan} dan A = {1 , 2, 3, 4, 5} maka relasi dari kedua himpunan tersebut adalah "nomor absen". Sehingga relasi dari himpunan a ke himpunan b dapat digambarkan dengan menggunakan diagram panah menjadi seperti berikut ini:

Coba perhatikan dengan baik gambar diagram panah tersebut. Kita dapat melihat bahwa tiap-tiap anggota yang ada di himpunan A berpasangan dengan tepat terhadap tiap-tiap anggota yang ada di dalam himpunan B. Maka dari itu, relasi "nomor absen" yang dihasilkan dari himpunan A ke himpunan B dapat disebut sebagai sebuah pemetaan. Pemetaan seperti pada contoh di atas disebut sebagai korespondensi satu-satu. Maka, korespondensi satu-satu dapat diartikan sebagai:

"Sebuah fungsi yang memetakan anggota suatu himpunan denga himpunan yang lain, dimana setiap anggota yang ada pada satu himpunan dapat dipasangkan dengan tepat pada tiap-tiap anggota yang lain begitu juga sebaliknya"

Maka dapat disimpulkan bahwa syarat yang harus dipenuhi oleh suatu fungsi atau pemetaan untuk bisa disebut sebagai korespondensi satu-satu adalah jumlah anggota dari kedua himpunan harus sama banyaknya n(A) harus sama dengan n(B). Lalu bagaimanakah cara mencari korespondensi satu-satu yang mungkin ada di antara himpunan A dan B? simak penjelasannya berikut ini:

Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu pada Himpunan Matematika

Apabila n(A) = n(B) = n maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi di antara himpunan A dan B adalah :

n! = n × (n – 1) × (n – 2) ×(n - 3) ... 4 × 3 × 2 × 1.

n! = n faktorial.

Itu adalah rumus yang bisa digunakan dalam mencari korespondesni satu-satu di dalam himpunan matematika. Nah di bawah ini ada beberapa contoh soal yang menerapkan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal-soal seputar himpunan. Yuk mari kita amati!

Contoh Soal:

Berapakah banyaknya korespondensi satu-satu yang bisa dibuat dari himpunan C = {huruf vokal} dan D = {bilangan prima yang kurang dari 13} ?

Cara Menjawab:

C = {huruf vokal} = {a,i,u,e,o}

D = {bilangan prima yang kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11}

Karena n(C) = n(D) = 5 maka jumlah korespondensi satu-satu antara himpunan C dan D adalah:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Begitulah kiranya pembahasan yang dapat diberikan mengenai Pengertian dan Rumus Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu pada Himpunan Matematika semoga kalian semua bisa memahami materi dan contoh soalnya dengan baik.