Statistika : Rata-Rata (mean). Median dan Modus

Dalam Matematika, data dan statistika merupakan dua hal yang selalu berkaitan. Mengapa? Karena statistika merupakan ilmu matematika yang mempelajari tentang data dan cara mengolahnya. Dalam pengolahan data akan dipelajari tentang cara menentukan rata-rata dada, median, dan modus data.

1.    Rata-Rata

       Rata-rata (mean) adalah jumlah nilai data (xi) dibagi banyak nilai data (n). Rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut.

       Rata-rata = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n )/n

       Jika nilai data xi sebanyak fi, dan jumlah seluruh data adalah N (f₁ + f₂ + f₃ + ... + f_n = N), rata-rata data dapat dirumuskan sebagai berikut.

       Rata-rata = (f₁x₁ + f₂x₂ + f₃x₃ + ... + f_nx_n )/N, dengan i = 1, 2, . . . , n

       Contoh :

1.    Tentukan rata-rata dari data 8, 3, 6, 7, 6, 8, 9, 5

     Jawaban:

      Rata-rata   =   (8 + 3 + 6 + 7 + 6 + 8 + 9 + 5)/8

                           = 52 / 8

                           = 6,5

2.    Tentukan rata-rata data berikut.

      

Nilai	Banyak Siswa
6	3
7	4
8	7
9	9
10	2

      

       Jawaban:

      

Nilai	Banyak Siswa	Nilai x Byk siswa
6	3	18
7	4	28
8	7	56
9	9	81
10	2	20
Jumlah	25	203

       Rata- rata = 203/25 = 8,12

       Jadi, nilai rata-rata siswa adalah 8,12.

2.    Median

       Median (nilai tengah) adalah nilai data yang berada di tengah setelah data diurutkan (data terurut).

a.     Jika banyak data ganjil, mediannya adalah nilai data yang berada tepat di tengah data terurut.

Jika x₁ ,  x₂ , x₃ , ... , x_n merupakan data terurut dan n bilangan ganjil, maka median dirumuskan:

                                    Me = x_(n+1)/2

b.    Jika banyak data genap, median­nya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah data terurut.

Jika x₁ ,  x₂ , x₃ , ... , x_n merupakan data terurut dan n bilangan genap, maka median dirumuskan:

                                    Me = (x_n + x_n+1)/2

       Contoh :

1.    Tentukan median  dari data 8, 3, 5, 7, 8, 4, 9, 9, 6, 7, 6, 8, 9, 5

      Jawaban:

      Data diurutkan dari yang terkecil.

      3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9

      Data yang terletak ditengah-tengah adalah 7 dan 7.

      Jadi, mediannya adalah (7 + 7)/2 = 7

2.    Tentukan median data berikut.

Nilai	Banyak Siswa
6	5
7	3
8	6
9	12
10	4

      

       Jawaban:

       Jumlah siswa ada 30. Median data terletak antara data ke 15 dan 16.

       Data yang terletak pada urutan ke 15 dan 16 adalah nilai 9.

       Jadi, nilai median  siswa adalah 9.

3.    Modus

       Modus adalah nilai data  yang paling sering muncul. Dengan kata lain, modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar.

       Contoh :

1.    Tentukan modus  dari data 8, 3, 5, 7, 4, 4, 9, 9, 6, 7, 6, 8, 9, 5

      Jawaban:

      Dari data di atas diperoleh.

     

      Nilai 3 diperoleh sebanyak 1 siswa

      Nilai 4 diperoleh sebanyak 2 siswa

      Nilai 5 diperoleh sebanyak 2 siswa

      Nilai 6 diperoleh sebanyak 2 siswa

      Nilai 7 diperoleh sebanyak 2 siswa

      Nilai 8 diperoleh sebanyak 2 siswa

      Nilai 9 diperoleh sebanyak 3 siswa

      Jadi, modusnya adalah 9.

2.    Tentukan modus data berikut.

Nilai	Banyak Siswa
6	5
7	3
8	6
9	12
10	4

      

       Jawaban:

       Nilai 9 adalah nilai yang paling banyak diperoleh siswa.

       Jadi, modusnya adalah 9.

Pengertian Sifat Komutatif Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Pengertian Sifat Komutatif Matematika - Selain sifat distributif yang sudah dijelaskan sebelumnya, di dalam matematika juga ada yang dinamakan dengan sifat komutatif. Tahukah kalian apa yang dimaksud dengan sifat komutatif matematika? jika belum tahu, Di sini Rumus Matematika Dasar akan menjelaskannya untuk kalian. Secara sederhana, sifat komutatif dapat kita artikan sebagai sifat pertukaran di dalam operasi hitung matematika, coba perhatikan perhitungan pada gambar di bawah ini:

Jadi bisa disimpulkan bahwa sifat komutatif di dalam matematika memenuhi rumus a + b = b + a dimana a dan b adalah bilangan bulat. Sifat tersebut tidak hanya berlaku pada operasi penjumlahan namun juga berlaku untuk operasi perkalian (a x b = b x a). Jadi, di  sifat komutatif matematika kita diperbolehkan melakukan pertukaran angka di dalam penjumlahan dan perkalian dengan hasil yang tetap sama.

Pengertian Sifat Komutatif Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan

Sifat komutatif pada operasi hitung penjumlahan

Sekarang mari kita pelajari lagi konsep sifat komutatif pada operasi hitung penjumlahan di bawah ini:

Contoh Soal 1

Hitunglah hasil dari 26.983 + 99.281 = ...

Jawab:

Hasil dari 26.983 + 99.281 = 126.264

Apabila kedua bilangan tersebut ditukar tempatnya, apakah hasilnya akan tetap sama?

99.281 + 26.983 = 126.264

Ternyata hasilnya tetap sama, yaitu 126.264. Artinya hukum komutatif berlaku untuk operasi hitung penjumlahan.

Sifat komutatif pada operasi hitung pengurangan

Sekarang mari kita coba dalam operasi hitung pengurangan.

99.281 - 26.983 = 72.298

Seandainya posisi bilangannya ditukar apakah hasilnya sama?

26.983 - 99.281 = - 72.298

Terlihat bahwa hasilnya berbeda, jika posisi bilangan itu ditukar maka hasilnya akan menjadi negatif. Artinya, sifat komutatif tidak berlaku untuk operasi hitung pengurangan (a – b ≠ b – a)

Sifat komutatif pada operasi hitung perkalian

Selanjutnya, mari kita lihat penggunaan sifat tersebut di dalam operasi hitung dalam bentuk perkalian. Amati contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 2

Berapakah hasil dari 25 x 45 = ...

Jawab:

Hasil dari 25 x 45 = 1125

Untuk menguji sifat komutatif, mari kita tukar posisinya:

45 x 25 = 1125

Ternyata hasilnya pun tetap sama, artinya di dalam operasi hitung bentuk perkalian, sifat komutatif matematika dapat berlaku.

Sifat komutatif pada operasi hitung pembagian

Sekarang mari kita lihat apakah sifat ini bisa berlaku untuk operasi hitung pembagian. Kita ambil contoh pembagian di bawah ini:

80 : 20 = 4

Apabila ditukar apakah hasilnya akan sama?

20 : 80 = 0,25

Ternyata setelah posisinya ditukar hasil yang didapatkan justru berbeda. Maka dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif tidak bisa berlaku di dalam operasi hitung pembagian (a : b ≠ b : a)

Bagaimana? apakah kalian sudah paham dengan penjelasan materi seputar Pengertian Sifat Komutatif Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap yang sudah dijabarkan di atas? Kalau belum, coba kalian baca lagi dengan seksama, pasti kalian akan bisa memahaminya jika memperhatikan dengan baik contoh-contoh perhitungan yang diberikan.

Rumus Matematika Faktorisasi Suku Aljabar Kelas 8 SMP

Faktorisasi Suku Aljabar  - Pemfaktoran atau biasa disebut juga sebagai faktorisasi bentuk aljabar merupakan suatu cara yang digunakan untuk menyatakan bentuk aljabar yang semula berbentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk yang lain (perkalian). Untuk memahami lebih jauh mengenai bagaimana cara melakukan faktorisasi terhadap berbagai macam bentuk aljabar, sebaiknya kalian mengamati dengan baik penjelasan rumus matematika dasar yang ada di bawah ini:

Penjelasan Materi Rumus Matematika Faktorisasi Suku Aljabar untuk SMP Kelas 8

1. Pemfaktoran Bentuk ax + ay + az + … dan ax + bx – cx

Untuk menyelesaikan aljabar dengan bentuk di atas, kalian bisa menggunakan sifat distributive sebagai berikut:

ax + ay + az + … = a (x + y + z + …)

ax + bx + cx = x (a + b + c)

Coba kalian amati contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 1:

Tentukan faktorisasi dari bentuk aljabar berikut ini:

a. 2x + 2y

b. pq²r³ + 2p²qr + 3pqr

Cara Menjawab:

a. 2x + 2y = 2 (x + y)

b. pq²r³ + 2p²qr + 3pqr = pqr (qr² + 2p + 3)

Sekarang coba kalian kerjakan soal-soal di bawah ini:

1. 3x – 3y =

2. 2x + 6 =

3. 4x²y – 6xy² =

4. 8pq + 24pqr =

5. 15x²– 18xy + 9xz =

2. Pemfaktoran Bentuk Aljabar selisih dua kuadrat x² – y²

Untuk melakukan faktorisasi aljabar yang berbentuk selisih dua kuadrat dapat kita bisa menggunakan cara berikut:

x²– y²  = x² _{+ (xy – xy) - y}²

             = (x² + xy) – (xy + y²)

             = (x – y)(x + y)

Sekarang amatilah contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 2

Tentukan Faktorisasi dari bentuk aljabar di bawah ini:

a. x² – 4

b. 9x² – 25y²

Cara Menjawabnya:

a. x² – 4 = x²– 2² = (x – 2)(x + 2)

b. 9x² – 25y²= 3² x² – 5² x² = (3x) ²– (5y) ² = (3x – 5y)(3x + 5y)

Coba selesaikan soal-soal latihan berikut:

1. x²– 25 =

2. 9m²– 16 =

3. 25p²– 16q² =

4. 36x²– 81y² =

5. 81p²– 100q² =

3. Pemfaktoran Aljabar Bentuk Kuadrat Sempurna

Selanjutnya, untuk aljabar dengan bentuk kuadrat sempurna, pola pemfaktorannya adalah sebagai berikut:

x² + 2xy + y² = (x + y)²

x²– 2xy + y² = (x – y)²

Contoh Soal 3

Tentukan faktor kuadrat sempurna dari x² + 4x + 8

Cara Menjawabnya:

Gunakan saja sifat distributif -> 4x = 2x + 2x maka:

x²+ 4x + 8 = x² + 2x + 2x + 4

            = (x² + 2x) + (2x + 8)

            = x (x + 2) + 2(x + 2)

            = (x + 2) (x + 2)

            = (x + 2)²

Untuk kali ini sekian dulu materi Rumus Matematika Faktorisasi Suku Aljabar Kelas 8 SMP untuk lebih lengkapnya bisa kalian lihat pada materi lanjutan mengenai Pemfaktoran Bentuk Aljabar Kelas 8 SMP semoga kalian bisa memahami pembahasan di atas dengan baik.

10 Contoh Soal Cerita Perbandingan Matematika

Contoh soal cerita perbandingan matematika - Sebelumnya rumus matematika dasar sudah pernah memberikan contoh soal mengenai perbandingan dalam artikel rumus matematika kelas 6sd mengenai bilangan, pecahan, skala dan perbandingan. Namun tidak ada salahnya apabila di dalam postingan kali ini diberikan lagi beberapa contoh soal cerita yang berkaitan dengan materi perbandingan dalam matematika. Dengan hadirnya beragam contoh soal di bawah ini, diharapkan agar kalian bisa berlatih untuk mengerjakannya dalam rangka mempersiapkan diri untuk menghadapi soal-soal serupa yang mungkin saja akan muncul dalam ujian semester ataupun ujian nasional. 

Selamat berlatih dengan contoh soal latihan matematika mengenai perbandingan berikut ini:

Kumpulan contoh soal cerita latihan tentang perbandingan matematika

Soal 1

Ibu membuat es campur dengan perbandingan bahan air, santan, dan sirup 5 : 4 : 3. Apabila ibu ingin membuat es campur sebanyak 70 liter, maka berapakah jumlah air yang dibutuhkan?

Soal 2

Perbandingan usia dani, abdul, dan luki adalah 5 : 6 : 4. Apabila umur luki adalah 16 tahun, maka berapakah umur mereka bertiga bila dijumlahkan?

Soal 3

Perbandingan berat badan antara pretty dan molly adalah 5 : 3. Apabila berat badan pretty adalah 75 kg, maka berapakah berat badan molly?

Soal 4

Paman budi beternak ayam, bebek, dan angsa. Perbandingan jumlah ketiga hewan ternak tersebut adalah 8 : 7 : 3. Apabila jumlah itik paman budi ada 420 ekor, maka berapakah jumlah ayam dan angsa yang ada di peternakan paman budi?

Soal 5

Diketahui perbandingan jumlah uang yang dimiliki gilang dan amir adalah 4 : 5, sementara perbandingan uang gilang dan asep adalah 2 : 4. Apabila jumlah keseluruhan uang mereka adalah rp. 62.000,- maka berapakah jumlah uang yang dimiliki asep?

Soal 6

Dengan 35 liter bensin, sebuah mobil yang melaju dengan kecepatan 60 km/jam mampu menempuh jarak 140 km. Apabila mobil tersebut diisi dengan bensin sebanyak 27 liter, maka berapakah jarak yang dapat ditempuh mibil tersebut dengan kecepatan yang sama?

Soal 7

Jumlah keseluruhan siswa  sd mutiara adalah 475 orang. Apabila perbandingan jumlah siswa laki-laki dan perempuan adalah 9 : 5 , maka berapakah jumliah siswa perempuan yang ada di sekolah tersebut?

Soal 8

Jumlah buah jeruk dan buah jambu yang ada di sebuah ember adalah 81 buah. Bila perbandingan banyaknya buah mangga dan jambu adalah 8 : 7, maka berapakah banyaknya buah jambu yang ada di dalam ember tersebut?

Soal 9

Tinggi badan bejo dibandingkan dengan tinggi badan parto adalah 5 : 7. Selisih tinggi badan mereka adalah 35 cm. Berapakah tinggi badan mereka bila dijumlahkan?

Soal 10

Perbandingan antara banyaknya buku matematika dan buku bahasa inggris di sebuah perpustakaan adalah 6 : 8. Bila selisih bannyak dari kedua buku tersebut adalah 27 buah, maka berapakah banyaknya buku matematika di perpustakaan itu?

Itulah kumpulan contoh soal cerita perbandingan matematika yang dapat kalian coba kerjakan untuk melatih pemahaman kalian tentang materi perbandingan yang diajarkan oleh guru kalian di sekolah. Selamat belajar dan berlatih.

Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya

Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar - Apakah kalian masih mengingat tentang apa yang di maksud dengan bangun datar? Bangun datar adalah bangun dua dimensi dimana hanya terdapat sisi panjang dan lebar dan dibatasi oleh garis lengkung dan garis lurus. Seperti kalian ketahui, bangun datar terdiri dari delapan jenis yaitu persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, segitiga, layang-layang, belah ketupat dan yang terakhir adalah lingkaran. Masing-masing bangun datar itu memiliki rumus luas dan keliling yang berbeda dan terkadang ketika kita menghitung rumus-rumus tersebut, dibutuhkan perhitungan yang melibatkan rumus teorema Pythagoras.

Apakah kalian tahu dalam situasi seperti apa teorema pythagoras digunakan pada bangun datar? Jika kalian belum mengetahuinya maka kalian wajib untuk membaca materi ini sampai habis karena rumus matematika dasar akan menjelaskan secara detail mengenai penerapan teorema pythagoras di dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan bangun datar. So, let's check it out!!

Penggunaan Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar                                            

Mencari diagonal bidang pada persegi dan persegi panjang

Kita bisa menggunakan rumus teorema pythagoras untuk mencari bidang diagonal pada persegi panjang apabila kita telah mengetahui panjang dan lebarnya. Sementara rumus pythagoras bisa kita gunakan untuk mencari bidang diagonal pada persegi apabila panjang sisinya telah diketahui. Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 1

Diketahui sebuah persegi panjang memiliki panjang 20 cm dan lebar 15 cm. maka berapakah panjang salah satu diagonal pada persegi panjang tersebut?

Pembahasan:

Diagonal = √(panjang² + lebar²)

Diagonal = √(20² + 15²)

Diagonal = √400 + 225

Diagonal = √625

Diagonal = 25 cm

Mencari diagonal layang-layang dan belah ketupat

Rumus Pythagoras dapat kita gunakan untuk mencari salah satu diagonal pada layang-layang dan belah ketupat apabila telah diketahui panjang sisi dan salah satu diagonal sisinya. Coba perhatikan kedua contoh soal berikut:

Contoh Soal 2

Hitunglah luas dari bangun layang-layang di bawah ini:

Pembahasan:
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka kita cari dulu panjang EM:

EM = ½ x EG

EM = ½ x 16

EM = 8 cm

Setelah itu, gunakan teorema pythagoras untuk mengetahui panjang FM dan HM:

FM = √(EF²– EM²)

FM = √(15²- 8²)

FM = √(225 - 64)

FM = √161

FM = 12,6 cm

HM = √(EH² – EM²)

HM = √(20² – 8²)
HM = √(400 – 64)
HM = √336

HM = 18,3 cm

Panjang diagonal FH adalah:

FH = FM + HM
FH = 12,6 + 18,3
FH = 30,9 cm

Sekarang kita cari luas dari layang-layang tersebut:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x EG x FH

L = ½ x 16 x 30,9

L = ½ x 494,4

L = 247,2 cm²

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar belah ketupat berikut ini:

Apabila diketahui panjang sisi belah ketupat PQRS adalah 15 cm dan panjang salah satu diagonalnya adalah 24 cm, Maka berapakah luas dari belah ketupat tersebut?

Pembahasan:

Apabila perpotongan diagonal PR dan QS pada belah ketupat itu ada pada titik X, maka:

PX = ½ x PR

PX = ½  x 24

PX = 12 cm

Sekarang kita gunakan rumus teorema pythagoras untuk mengetahui panjang QX:

QX = √(PQ²- PX²)

QX = √(15²- 12²)

QX = √(225 - 144)

QX = √81

QX = 9 cm

QS = 2 x QX

QS = 2 x 9

QS = 18 cm

Sekarang tinggal menghitung luas belah ketupat tersebut:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 24 x 18

L = ½ x 432

L = 216 cm²

Mencari tinggi trapesium dan jajar genjang

Untuk mengetahui bagaimana cara menggunakan rumus teorema pythagoras dalam mencari tinggi dari bangun datar trapesium ataupun jajar genjang, kalian bisa menyimaknya dalam contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 4

Amatilah gambar trapesium berikut ini:

Apabila diketahui panjang sisi PR = 40 cm, RS = 40 cm, dan PQ= 64 cm. Berapakah luas dari trapesium di atas?

Pembahasan:

Kalian bisa lihat bahwa trapesium tersebut merupakan trapesium sama kaki maka kita bisa ketahui bahwa panjang PR = QS, panjang PT= UQ dan panjang RS = TU, sehingga:

Panjang PT = PQ – TU – UQ

Panjang PT = 64 cm – 40 cm – UQ

Karena UQ = PT, maka:

2 x PT= 24 cm

PT = 12 cm

Sekarang kita bisa mencari tinggi trapesium dengan menggunakan teorema pythagoras seperti berikut ini:

RT = √(PR²– PT²)

RT = √(40² – 12²)

RT = √(1600 – 144)

RT = √1456

RT = 38,15 cm

Sekarang kita bisa mencari luas trapesium dengan rumus berikut:

L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi

L = ½ x (PQ + RS ) x RT

L = ½ x (64 cm + 40 cm) x 38,15 cm

L = ½ x 3967,6

L = 1983,8 cm2

Contoh Soal 5

Hitunglah luas jajar genjang berikut ini:

Pembahasan:

Pertama-tama, kita cari dahulu panjang PT:

PQ = RS

PT + TQ = RS

PT = RS - TQ

PT = 30 - 25

PT = 5 cm

Kemudian kita cari tinggi dari jajar genjang di atas:

ST = √(PS²  – PT²)

ST = √(23² – 5²)

ST = √(529 – 25)

ST = √504

ST = 22,4 cm

Barulah bisa kita cari luas dari jajar genjang tersebut:

L = a x t

L = PQ x ST

L = 30 cm x 22,4 cm

L = 673,4 cm²

Kira-kira begitulah cara memahami Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya. Semoga saja bisa memberikan pemahaman yang lebih baik kepada kalian untuk bisa mengerti cara menggunakan rumus teorema pythagoras di dalam beragam jenis soal yang berkaitan dengan bangun datar.